【中3数学】三平方の定理とその逆

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【中3数学】三平方の定理についてまとめています。入試では、なんらかの形でほぼ100%出題されるといって過言ではありません。しっかり学習してきましょう。

三平方の定理

直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa,b、斜辺の長さをcとすると、次の関係を成り立ちます。
三平方の定理

a2+b2=c2

これが三平方の定理です。

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直角三角形の辺の長さ

直角三角形の2辺の長さがわかっているとき。三平方の定理を使うと残りの辺の長さを求めることができます。対角線を斜辺とする直角三角形に、三平方の定理をあてはめる問題も多いです。

三平方の定理の逆

三平方の定理
△ABCで、BC=a CA=b AB=cとすると、a2+b2=c2ならば、∠C=90°となります。

直角三角形を探す問題

3辺の辺をそれぞれ2乗して考えます。

<例>5cm、7cm、8cmの三角形は、直角三角形であるか。否か。
82=52+72が成立しないので、違う。

また、辺の長さが小数や無理数であっても、a2+b2=c2が成り立てば、直角三角形です。

長さを求める問題

下の図の直角三角形で、x値を求めよ。
三平方の定理

解答1

(1)10 (2)6√3

対角線の問題

次の問いに答えなさい。

  1. 2辺の長さが5cm、12cmの長方形の対角線の長さを求めなさい。
  2. 縦の長さが5cm、対角線の長さが11cmの長方形の横の長さを求めなさい。

解答2

  1. 13
  2. 4√6

直角三角形を見つける問題

次の長さを3辺とする三角形のうち。直角三角形はどれですか。数字で答えよ。

  1. 5cm、7cm、8cm
  2. 12cm、16cm、20cm
  3. 20cm、21cm、29cm
  4. 10cm、15cm、20cm
  5. 0.5cm、1.2cm、1.3cm
  6. √3cm、√6cm、3cm

解答3

2、3、5、6

三平方の定理の逆の問題

次のような長さから3つ選んで三角形をつくります。このとき。直角三角形になる組を2組答えなさい。ただし、3つの長さは、左から強い祭順に並べなさい。
(長さ)2 3 4 √5 √7 √10

解答4

(2、√5、3) (√7、3、4)

以上が、【中3数学】三平方の定理とその逆となります。計算ミスに気をつけながら、確実に正解していきましょう。また、よく出てくる直角三角形の長さをの組み合わせは、覚えていくといいでしょう。たとえば、(3:4:5)(5:12:13)(8:15:17)(1:2:√5)などです。それに加え、次に履修する「特別な直角三角形の比」を覚えると、幾分ラクに正解が導けるでしょう。

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