中3数学の「特別な角をもつ直角三角形の辺の長さ」

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中3数学の「特別な角をもつ直角三角形の辺の長さ」についてまとめています。直角三角形の中には、30°、45°、60°など特別な角ももつ直角三角形の辺の比は決まっているので、「三平方の定理」を使わずとも、辺の長さを導けます。そのあたりを今回は、学びます。それでは、中3数学の「特別な角をもつ直角三角形の辺の長さ」をみていきましょう。

特別な角をもつ直角三角形

  • 3つの角が45°、45°、90°である直角三角形の3辺の長さの割合(比)は、1:1:√2となります。
  • 3つの角が30°、60°、90°である直角三角形の3辺の長さの割合(比)は、1:2:√3となります。
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問題を解くうえでのポイント

  1. 直角三角形の2辺の長さがわかれば、三平方の定理を使って、残りの辺の長さを求めることができる。
  2. ただし、特別な角をもつ直角三角形の辺の比は、決まっているので、比例式を利用。
  3. 正方形の対角線を引くと直角二等辺三角形や正三角形は、それぞれ45°、60°があるので、特別な角をもつ直角三角形の辺の比を利用。

練習問題

次の問いに答えなさい。

問1 正方形と正三角形

  1. 1辺が8cmの正方形の対角線の長さを求めなさい。
  2. 1辺が12cmの正三角形の高さを求めなさい。

ヒント

  • 正方形に対角線を引くと、直角二等辺三角形が2つできます。
  • 正三角形(二等辺三角形)は、高さを下す(線をひく)と垂直二等分線となります。つま
  • り、底辺の中点に、下した線がきます。底辺を半分ずつにしているところにきます。

問2 特別な直角三角形

それぞれxの値を求めなさい。
特別な直角三角形

解答

問1 1 8√2 2 6√3
問2 (1)4√2 (2)4√3 (3)3√3

以上が、中3数学の「特別な角をもつ直角三角形の辺の長さ」となります。入試では、複雑な図形の中で、その特別な角をもつ直角三角形を探したり、問題の条件を読む中で、角度を知り、「特別な角をもつ直角三角形の辺の比」を使用させたりさせる問題が多いです。演習を重ね、習得しましょう。ただし、どの都道府県でも大問1にあるような小問集合の問題には、今回のような分かり切った状態で出題され、「特別な角をもつ直角三角形の辺の比」を使わせる問題も出題されるケースもあります。そのときは、しっかり得点していくことが大切となります。

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