中2数学の「平行四辺形になることの証明」の練習とポイント

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中2数学の「平行四辺形になることの証明」の練習とポイントです。平行四辺形に関する証明は、「平行四辺形の性質をつかっておこなう証明」と「平行四辺形になることを証明」と大きく2つあります。それでは、中2数学の「平行四辺形になることの証明」の練習とポイントです。

平行四辺形になることの証明

平行四辺形になることの証明は、

  1. 2組の向かいあう辺が、ぞれぞれ平行である
  2. 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい
  3. 2組の向かいあう角が、それぞれ等しい
  4. 対角線が、それぞれの中点で交わる
  5. 1組の向かいあう辺が、等しく平行である

の5つのいずれかにあてはまるように証明していきます。

練習問題1

次のような四角形ABCDは、平行四辺形であるといえるか答えよ。

  1. AB=5cm、CD=5cm、AD//BC
  2. AB=5cm、CD=5cm、∠B=60°、∠C=120°
  3. ∠A=∠C=70°、∠B=110°
  4. ∠A=∠B=70°、∠C=110°
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解答1

  1. いえない
  2. いえる(1組の向かいあう辺が、等しく平行であるという条件になる)
  3. いえる(2組の向かいあう角が、それぞれ等しいという条件になる)
  4. いえない

練習問題2

平行四辺形ABCDの対角線BD上に点E,FをBE=DFとなるようにとります。このとき、四角形AECFは平行四辺形であることを証明しなさい。
平行四辺形になることの証明1

解答2

点AとCを結び、BDとの交点をOとする。
四角形ABCDは平行四辺形だから
AO=CO…①
BO=DO…②
EO=BO-BE、FO=DO-DFより、BE=DF…③
②③より、EO=FO…④
①4より、対角線が、それぞれの中点で交わるので、四角形AECFは平行四辺形です。

練習問題3

平行四辺形ABCDの辺AB, CD, DA 上に, それぞれ,点E, F, G, H を,AE=CG, BF=DHとなるようにとります。このとき, 四角形EFGHは, どんな四角形になりますか。証明し答えなさい。
平行四辺形になることの証明2

解答3

△AEHと△CGF において
仮定より、AE=CG…①
平行四辺形の向かいあう角は等しいから,、∠EAH=∠GCF…②
また, AD=BC, かつ,HD=BF だからAH=CF…③
① ② ③ より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△AEH≡△CGF
EH=FG…④
同様にして, △BEF≡△DGHよって, EF=HG…⑤
④, ⑤ より, 2組の向かいあう辺がそれぞれ等しいから、
四角形EFGHは 平行四辺形である。

あわせて確認

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