【中3数学】半円と相似の総合問題

【中3数学】半円と相似の総合問題です。

【問題】半円と相似の総合問題

次の図は、線分ABを直径とする半円で点Cは弧AB上にある。弧CD上に点Dを、弧AD=弧CDとなるようにとり、線分ACと線分BDとの交点をEとする。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)△ABE∽△DBCであることを証明しなさい。

(2) AB=10cm、AD=6cmのとき
（ア）線分AEの長さを求めなさい。
（イ）線分BCの長さを求めなさい。

【解答・解説】半円と相似の総合問題

(1) 弧AD=弧CDより、2つの弧に対する円周角が等しくなることに注目する。
（解答）
△ABEと△DBCにおいて
∠BAEと∠BCDは弧BCに対する円周角だから、
∠BAE＝∠BCD…➀
∠ABEと∠DBCは、それぞれ弧ADと弧CDに対する円周角で、弧AD＝弧CDだから、
∠ABE＝∠DBC…➁
➀➁より、2組の角がそれぞれ等しいから、
△ABE∽△DBC

(2)
（ア）△ADB で三平方の定理をチ擁して
DB=8(cm)

△ABE∽△DBCより
AB:DB＝AE:DC
10:8=AE:6
AE＝15/2(cm)
（解答）15/2(cm)

（イ）△ABE ∽△DCE
AB:DC=AE:DE
10:6=15/2:DE
DE=9/2(cm)

△ABE∽△DBCより
AB:DB=EB:CB
10:8=7/2:CB
CB=14/5(cm)
（解答）14/5(cm)