【高校入試対策数学】関数と相似の融合問題

【高校入試対策数学】関数と相似の融合問題です。

【問題】関数と相似の融合問題

図のように、関数y=1/8x²のグラフ上に2点A,Bがあり、2点A,Bのx座標はそれぞれ-8,4である。2点A,Bを通る直線と軸との交点をC、x軸との交点をDとする。また、x軸上に∠ACE=90°となるように点Eをとる。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)2点A, Bを通る直線の式を求めなさい。

(2)点Dの座標を求めなさい。

(3)線分DEの長さを求めなさい。

【解答・解説】関数と相似の融合問題

(1) 直線AB の式をy=ax+b とおくと、
A(-8, 8) を通るから、8=-8a+b … ➀
B (4, 2) を通るから、2=4a+b … ➁
➀➁を連立方程式として解くと、
a=-1/2、b=4
（解答）y=-1/2x+4

(2) Dのy座標は0だから、
0=-1/2x+4
よって、x=8だから、D (8,0)
（解答）D (8,0)

(3)
∠COD=∠EOC(=90°)…➀
∠CDO=90°-∠OCD=∠ECO…➁
よって、△COD∽△EOCだから
CO:EO=OD: OC

CO=4,OD=8より、
4:EO=8:4
EO=2

DE=EO+OD=2+8=10
（解答）10

＜別解1＞
△COD で三平方の定理より、
CD=4√5

△CED∽△OCDより、
DE:DC=CD:OD
DE:4√5=4√5:8
DE=10

＜別解2＞
直線CEと直線ABは垂直なので、垂直な2直線の傾きの積は-1である性質を利用して、直線CEの式をy=2x+4と求めて解くこともできる。