【中2数学】三角形の合同の証明のポイント・練習問題

スポンサーリンク

中2数学の「証明」について、しくみ・流れから代表問題の解法パターンまでふれています。それでは、中2数学の「証明」をみていきましょう。

スポンサーリンク

証明とは?

証明とは、あることことがらが成り立つことを、すじ道を建てて明らかにすることです。

仮定と結論

「AならばBである」のような形でいい表されることがらの、Aの部分を「仮定」(与えられてあらかじめわかっていること)、Bの部分を「結論」(Aから導こうとしていること)といいます。

●例題
次のことがらについて、仮定と結論をそれぞれ答えよ。

(1)2つの直線が平行ならば、同位角は等しい。
(2)xが15の倍数ならば、xは3の倍数である。

●解説
「AならばBである」のような形でいい表されることがらで、Aの部分を「仮定」、Bの部分を「結論」というので、

●解答
(1)仮定…2つの直線が平行 結論…同位角は等しい
(2)仮定…xが15の倍数 結論…xは3の倍数

スポンサーリンク

証明の流れ

<合同な三角形を証明する場合>

△(    )と△(     )において
(   )=(   )(根拠・理由)…①
(   )=(   )(根拠・理由)…②
(   )=(   )(根拠・理由)…③
①②③より( 合同条件 )より
△(    )≡△(     )

●三角形の合同条件
➊3辺がそれぞれ等しい
➋2辺とその間の角がそれぞれ等しい
➌1辺とその両端の角がそれぞれ等しい

●直角三角形の合同条件
➊斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
➋斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

根拠・理由になることがら

  • 仮定
  • 共通な辺、共通な角
  • 対頂角は等しい
  • 平行線による同位角は等しい
  • 平行線による錯角は等しい
  • 三角形の内角と外角の性質
  • 多角形の内角の和、外角の和
  • 平行四辺形の性質
  • 二等辺三角形の性質
  • ひし形の性質
  • 正方形の性質

など

スポンサーリンク

直角三角形の合同条件

  • 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
  • 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

直角三角形が合同になる証明

次の図の2つの直角三角形が合同になることを「直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいとき、三角形は合同になること」を証明します。
直角三角形

△ABCと△DEFにおいて
仮定より AB=DE…①
仮定より ∠ABC=∠DEF=30°…②
三角形の内角の和は180°だから ∠BAC=∠EDF…③
①②③より 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ABC≡△DEF

スポンサーリンク

代表的な証明パターン練習問題

【問1】次の図で、AB=CB、BDは∠ABCの二等分線です。このとき。AD=CDとなることを証明せよ。
合同の証明

【問2】次の図で、線分ABの中点をMとし、Mを通る線分CDを∠CAM=∠DBMとなるようにとると、AC=BDになることを証明せよ。
合同の証明

【問3】次の図で、AB=ACの二等辺三角形ABCで、頂点Bから辺ACに垂線をひき、その交点をD、また、頂点Cから辺ABに垂線をひき、その交点をEとします。このときAD=AEになることを証明せよ。
直角三角形

【問4】次の図のように、BD=CDが等しく、∠ABD=∠ACD=90°の2つの三角形があるとき、∠ADB=∠ADCであることを証明せよ。
直角三角形

練習問題の解答

【問1】
△ABDと△CBDにおいて
仮定より AB=CB…①
仮定より ∠ABD=∠CBD…②
共通な辺より BD=BD…③ (BDは共通でも)
①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれの等しいので
△ABD≡△CBD
合同な図形では、対応する辺の長さは等しいので、
AC=CD

【問2】
△ACMと△BDMにおいて
仮定より AM=BM…①
仮定より ∠CAM=∠DBM…②
対頂角より ∠AMC=∠BMD…③
①②③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ACM≡△BDM
合同な図形では、対応する辺の長さは等しいので、AC=BD

【問3】
△ABDと△ACEにおいて
仮定より AB=AC…①
∠ADB=∠AEC=90°…②
共通な角より ∠BAD=∠CAE…③
①②③より 直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
△ABD≡△ACE

直角三角形の合同の証明のポイント
直角三角形の合同条件を使った証明では、次のことを頭においておきましょう。

  • 斜辺が等しいこと
  • 直角があること
  • 1つの鋭角または、他の1辺が等しいこと

以上であれば、直角三角形の合同条件を使った証明ができます。

【問4】
△ABDと△ACDにおいて
仮定より BD=CD…①
仮定より、∠ABD=∠ACD=90°…②
共通な辺より AD=AD…③
①②③より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので
△ABD≡△ACD
合同な図形では、対応する角は等しいので、
∠ADB=∠ADC

中学数学
スポンサーリンク
シェアする
この記事を書いた人
君島琴美

Examee編集長。このサイトでは、理科以外の教科を担当。基礎学習サイトPikuuのライターも務める。普段の学習塾では、数学、面接、総合型選抜対策の講座を受け持つ。エグゼクティブ講師として、数々の難関高校、難関大学への合格者を輩出している。

君島琴美をフォローする
Examee

コメント

テキストのコピーはできません。