【高校入試対策数学】規則性を見つける対策問題

【高校入試対策数学】規則性を見つける対策問題です。

【問題】規則性を見つける対策問題

図のように、自然数が書いてあるカードを並べる。1段目には【1】、2段目には、【2】【3】、3段目には【3】【4【5】のカードを置き、4段目以後も、左から右へ、段の数から順に1ずつ大きくなる自然数が並ぶように、段の数と同じ枚数のカードを置いていく。これを順に20段目まで行った。 次の問いに答えなさい。

(1) 5段目の一番右に置かれたカードに書いてある自然数を求めなさい。

(2) n段目の一番右に置かれたカードに書いてある自然数をnを使った式で表しなさい。

(3) 25のカードがはじめて置かれたのは何段目かを求めなさい。

(4) 1段目から20段目まで並べたカードのうち、25のカードは何枚あるかを求めなさい。

(5) 1段目から20段目まで並べたカードのうち、10枚のカードに同じ自然数が書いてある。 その自然数
をすべて求めなさい。

【解答・解説】規則性を見つける対策問題

(1)5段目は先頭が5で、カードが5枚並ぶから、一番右の数は、5+(5-1)=9
（解答）9

(2)段目は先頭がnで、カードがn枚並ぶから、n+(n-1)=2n-1
（解答）2n-1

(3) 段の一番右に置かれたカードははじめて置かれたカードである。書かれている数は(2)より奇数。25は奇数だから、2n-1=25より、n=13
（解答）13

(4) 25のカードは、13段目から25段目までそれぞれの段、1枚ずつ並べられるから、20段目まででは, 13段目から20段目までの8段に1枚ずつある。
（解答）8枚

(5) 20段目まで並べたから、11段目にはじめて並べられる数 2×11-1=21は10枚並ぶ。

また、はじめて並べられた奇数より1小さい偶数も同じ段にはじめて並べられるから、20も11段目にはじめて並べられるので、10枚並ぶ。

19がはじめて並ぶのは、2n-1=19より、n=10
よって、19 は10段目から19段目まで10枚並ぶ。

18は19と同じ10段目にはじめて並ぶが、10段目から18段目までの9枚しか並ばない。
17 以下も同様に調べると10枚にならない。
したがって、19, 20, 21
（解答）19．20．21