【高校入試対策数学】円錐に内接している球に関する総合問題

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【高校入試対策数学】円錐に内接している球に関する総合問題

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【問題】円錐に内接している球に関する総合問題

【問1】図1のようにOを頂点とし、線分ABを底面の直径、点Cを底面の中心とする円錐がある。OA=10cm、AB=12cmとするとき、次の問いに答えなさい。
円錐の基礎問題

(1)図1において、底面の円周の長さを求めなさい。

(2)図1において、円錐の体積を求めなさい。

【問2】Oを頂点とし、線分ABを底面の直径、点Cを底面の中心とする円錐がある。その円錐に図1のように、ちょうど入る球が母線OAとふれている点をPとする。また、この球は底面の中心Cにもふれている。 図2は、図1を正面から見た図であり、円の中心をQとする。このとき、次の(1)~(3)の問いに答えなさい。
円錐に球が内接している問題

(1) 図2において、線分 PQ の長さを求めなさい。

(2) 図2において、△OPQ と△OACの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3) 図1において、点Pを通り、底面に平行な平面で円錐を2つに切り分ける。このとき、頂点Oをふくむ方は円錐になる。この円錐の側面積を求めなさい。

【解答・解説】円錐に内接している球に関する総合問題

問1
(1) (円周の長さ)=(直径)×(円周率)
(解答)12πcm

(2) OCは三平方の定理を利用して、8(cm)
体積は、1/3×π×6×6×8=96πcm3
(解答)96πcm3

問2
(1) AP=AC=6cm
OP=10-6=4 (cm)
△OPQ∽△ОCA
PQ:CA = OP:OC
PQをrとすると、
r: 6=4:8
r=3(cm)
(解答)3cm

(2)△OPQと△OCAの相似比は
PQ:CA=3:6=1:2
相似な図形の面積比は相似比の2乗に等しいから
△OPQ:△OAC=1:4
(解答)1:4

(3)この円錐の展開図の側面のおうぎ形の中心角 は、もとの円錐と同じである。
中心角をx とすると。
2π×10×x/360=12π
x=216
求める側面積は, OP=4cm だから,
π×4×4×216/360=(48/5)π
(解答)(48/5)πcm2 5分の48π

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