【中学数学】素因数分解のやり方を徹底解説！約数の個数への利用＆テスト頻出問題付き

素因数分解は、自然数を「素数」だけで表す基本的な計算であり、数学のさまざまな分野で活用されます。特に、「約数の個数を求める問題」では、素因数分解の理解がカギとなります。

この記事では、素因数分解の基本ルールや計算のコツを詳しく解説し、テストでよく出る問題を厳選して紹介しています。しっかり練習して、確実に得点できるようになりましょう！

【ポイント】素数と因数の理解を深める

まず、素数、因数、素因数分解の用語を理解しましょう。定期テストでは必ず出題されるところです。

素数

2,3,5,7など、それより小さい自然数の積の形で表すことのできない自然数です。※1は素数ではありません。

因数

整数が、いくつかの整数の積の形で表されるとき、その1つ1つの数をもとの数の因数といいます。

素因数分解

素数である因数を、素因数といい、自然数を素数の積として表すことを素因数分解するといいます。

約数

約数は、素因数の各因数の組み合わせで、すべての約数を求めることができます。また約数の個数は、素因数分解した各因数の累乗に1を足して掛け合わせたものになります。

【問題】素因数分解の対策問題

【問1】次の問いに答えなさい。

1. 素数を小さいほうから10個答えなさい。
2. 45を素因数分解しなさい。

【問2】次の問いに答えなさい。

1. 16を素因数分解しなさい。
2. 40を素因数分解しなさい。
3. 96を素因数分解しなさい。
4. 196を素因数分解しなさい。

【問3】次の問いに答えなさい。

1. 素因数分解を利用して、75の約数をすべて求めなさい。
2. 75の約数の個数を求めなさい。

【問4】次の問いに答えなさい。

1. 素因数分解を利用して、250の約数をすべて求めなさい。

【解答・解説】素因数分解の対策問題の解説・解答

【問1】

1. 1は、素数でないので、2,3,5,7,11,13,17,19,23,29が答えとなります。
2. 45＝3×15＝3×3×5＝3²×5が答えとなります。ひっ算をつかって、素数で順にわっていき、商が素数になるまで続けていきましょう。答えは、同じ素因数の積は累乗の指数を使います。

【問2】

1. 2⁴
2. 2³×5
3. 2⁵×3
4. 2²×7²

【問3】

1. 75=3×5²と素因数分解して、
   1×1＝1
   1×5＝5
   1×5²＝25
   3×1＝3
   3×5＝15
   3×5²＝75
   と求められます。よって、1,3,5,15,25,75
2. 3×5²より、2×3＝6個となります。

【問4】

1. 1,2,5,10,25,50,125,250

以上が、中３数学の「素因数分解と約数」素数と因数・約数の理解を深めよう！となります。定期テストでは、用語についての出題も必ずだされるので、素因数、因数、約数などについてしっかり記述できるようにもしておきましょう。