【高校受験対策数学】相似の証明の練習問題

【高校受験対策数学】相似の証明の練習問題です。

三角形の相似条件は3つありますが、高校入試問題では「2組の角がそれぞれ等しい」を使う場合が圧倒的に多いので、まずは証明したい2つの三角形について「等しい角の組」を見つけみて、そうでなければ、 「2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい」、「3組の辺の比がすべて等しい」の順で証明の構想を練ろう。

【問題】相似の証明の練習問題

【1】次の図のように、正三角形ABCの辺BC上に点Dをとり線分ADを1辺とする正三角形ADEをつくる。辺ACと辺DEとの交点をFとするとき、△ABD∽△AEFであることを証明しなさい。

【2】次の図は、長方形ABCDを頂点Cが辺AD上の点Eにくるように折り返したもので、線分BFは折り目の線である。このとき、△ABE∽△DEFであることを証明しなさい。

【3】次の図のように、円Oの周上に4点A、B、C、Dがあり、2点A、Bを通る直線と2点C、Dを通る直線が点Eで交わっている。このとき、△ACE∽△DBEであることを証明しなさい。

【4】次の図のように、円0の周上に3点A、B、Cがあり、△ABCはAB=ACの二等辺三角形である。点Aをふくまない方のBC上に、2点B、Cと異なる点Dをとり、線分ADと辺BCとの交点をEとする。点Bと点Dを結ぶとき、△ABD∽△AEBであることを証明しなさい。

【解答】相似の証明の練習問題

【1】△ABDと△AEFにおいて、
△ABC、△ADEは正三角形だから
∠ABD＝∠AEF…➀
∠BAD＝∠BAC-∠DAC=60°-∠DAC…➁
∠EAF＝∠DAE-∠DAC＝60°-∠DAC…➂
➁➂より∠BAD=∠EAF…④
➀➃より、2組の角がそれぞれ等しいから、
∠ABD∽∠AEF

【2】△ABEと△DEFにおいて、
四角形ABCDは長方形だから、
∠BAE=∠EDF…➀
∠ABE180°-(90°+∠AEB)=90°-∠AEB…➁
折り返した角だから、∠BEF＝∠C＝90°
したがって
∠DEF＝180°-(∠BEF+∠AEB)
=180°-(90°+∠AEB)=90°-∠AEB…➂
➁➂より∠ABE＝∠DEF…④
➀➃より、2組の角がそれぞれ等しいから、
△ABE∽△DEF

【3】△ACEと△DBEにおいて、
共通な角だから、∠AEC=∠DEB…➀
ADに対する円周角だから、∠ACE=∠DBE…➁
➀➁より、2組の角がそれぞれ等しいから、
△ACE∽△DBE

【4】△ABDとAEBにおいて、
共通な角だから、∠BAD=∠EAB…➀
ABに対する円周角だから、∠ADB=∠ACB…➁
△ABCはAB=ACの二等辺三角形だから、∠ABE=∠ACB…➂
➁➂より、∠ADB=∠ABE…④
➀➃より、2組の角がそれぞれ等しいから、
△ABD∽△AEB