1次関数と2次関数の式の比較と違いです。数学の学習において、一次関数と二次関数は非常に重要な概念です。どちらも関数の一種ですが、それぞれの式やグラフの特徴には大きな違いがあります。この記事では、一次関数と二次関数の式の違いをわかりやすく解説し、それぞれの特徴を比較します。関数の理解を深めるために、式やグラフをしっかり押さえていきましょう！
1次関数と2次関数の式の比較
それぞれの特徴と違いをつかむことで、定期テストでの点数のとりこぼしを防ぐことができます。とりわけ中学3年生の2学期の定期テストで頻出されます。特につかんでおきたいことは、「変化の割合」の違いです。それでは、１次関数と２次関数の式の比較と違いです。
| 関数 | 一次関数 | 二次関数 |
|---|---|---|
| 式 | ｙ＝ax+b | y=ax2 |
| a | 比例定数（傾き） | 比例定数 |
| b | 切片 | |
| 変化の割合 | 一定 | 一定でない |
| 特徴 | 直線 | 原点を通る |
| 傾き＝変化の割合=
平均の速さ |
ｙ軸に対称 | |
| a＞0で右上がり | a＞0で上に開く | |
| a＜0で右下がり | a＜0で下に開く | |
| 平行だと傾きは同じ | aの絶対値が大きくなると開きが小さくなる | |
| 切片はx=0
のときyの値 |
aの絶対値が同じで符号がことなるとｘ軸に対称 |
変化の割合
- 変化の割合＝ｙの増加量/ｘの増加量
- ｙの増加量＝変化の割合×ｘの増加量
1次関数の場合、変化の割合＝傾きでもある。
2次関数と変化の割合
2時間数の場合、変化の割合の公式をさらに応用して、
ｙ＝ax2でｘがnからmまで増加するときの変化の割合は、
- 変化の割合＝a（n+m）
となる。
●例題
ｙ＝2×2でｘが-2から5まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
＜解答＞
変化の割合＝a（n+m）＝2（-2+5）＝6
変域
変域とは、範囲のことで、最小値≦ｘ≦最大値、最小値≦ｙ≦最大値などと表す。
●求め方
求め方は、基本は、グラフを書くことで、ミスなく解くことができるが、与えられた値をそれぞれ式に代入して、小さいほうを最小値、大きい方を最大値として解答してもよい。
➊a＞0のときで、ｘの変域が（マイナス）≦ｘ≦（プラス）であれば、ｙの変域は、最小値は0
➋a＜0のときで、ｘの変域が（マイナス）≦ｘ≦（プラス）であれば、ｙの変域は、最大値は0
となることに注意。
●例題
ｙ＝2ｘ2でｘの変域が-3≦ｘ≦1のとき、ｙの変域を求めよ。
＜解説・解答＞
まず、最小値は0となる。最大値は、絶対値が大きい方の（-3）をｙ＝2ｘ2代入して、計算すると12となる。
よって、0≦ｙ≦12
1次関数と2次関数の式の練習問題
(1)一次関数y=2x+5でｘが2から5まで増加するときの変化の割合を求めよ。
(2)二次関数y＝2x2でｘが2から5まで増加するときの変化の割合を求めよ。
(3)一次関数y=2x+5でｘの変域が2≦ｘ≦5のとき、ｙの変域を求めよ。
(4)一次関数y=-2x+5でｘの変域が2≦ｘ≦5のとき、ｙの変域を求めよ。
(5)反比例y=-30/ｘ（マイナスｘ分の30）でｘの変域が2≦ｘ≦5のとき、ｙの変域を求めよ。
(6)二次関数y＝2x2でｘの変域が2≦ｘ≦5のとき、ｙの変域を求めよ。
1次関数と2次関数の式の解答
(1)2
(2)14
(3)9≦y≦15
(4)-5≦y≦1
(5)-15≦y≦-6
(6)8≦y≦50
1次関数と2次関数の式のまとめ
- 大きな違いは、変化の割合（1次関数は、一定、2次関数は一定でない。）
- 1次関数の傾きは、変化の割合や平均の速さ等しい。
- 2次関数の変化の割合の求め方は、a（n+m）を利用すると簡単！
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