1次関数と2次関数の式の比較と違い

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1次関数と2次関数の式の比較と違いです。それぞれの特徴と違いをつかむことで、定期テストでの点数のとりこぼしを防ぐことができます。とりわけ中学3年生の2学期の定期テストで頻出されます。特につかんでおきたいことは、「変化の割合」の違いです。それでは、1次関数と2次関数の式の比較と違いです。

1次関数と2次関数の式

関数 一次関数 二次関数
y=ax+b y=ax2
a 比例定数(傾き) 比例定数
b 切片
変化の割合 一定 一定でない
特徴 直線 原点を通る
傾き=変化の割合=

平均の速さ

y軸に対称
a>0で右上がり a>0で上に開く
a<0で右下がり a<0で下に開く
平行だと傾きは同じ aの絶対値が大きくなると開きが小さくなる
切片はx=0

のときyの値

aの絶対値が同じで符号がことなるとx軸に対称
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変化の割合

  • 変化の割合=yの増加量/xの増加量
  • yの増加量=変化の割合×xの増加量

1次関数の場合、変化の割合=傾きでもある。

2次関数と変化の割合

2時間数の場合、変化の割合の公式をさらに応用して、
y=ax2でxがnからmまで増加するときの変化の割合は、

  • 変化の割合=a(n+m)

となる。

●例題
y=2×2でxが-2から5まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

<解答>
変化の割合=a(n+m)=2(-2+5)=6

変域

変域とは、範囲のことで、最小値≦x≦最大値、最小値≦y≦最大値などと表す。

●求め方
求め方は、基本は、グラフを書くことで、ミスなく解くことができるが、与えられた値をそれぞれ式に代入して、小さいほうを最小値、大きい方を最大値として解答してもよい。

ただし、2次関数の場合、
➊a>0のときで、xの変域が(マイナス)≦x≦(プラス)であれば、yの変域は、最小値は0
➋a<0のときで、xの変域が(マイナス)≦x≦(プラス)であれば、yの変域は、最大値は0
となることに注意。

●例題
y=2x2でxの変域が-3≦x≦1のとき、yの変域を求めよ。

<解説・解答>
まず、最小値は0となる。最大値は、絶対値が大きい方の(-3)をy=2x2代入して、計算すると12となる。

よって、0≦y≦12

練習問題

(1)一次関数y=2x+5でxが2から5まで増加するときの変化の割合を求めよ。
(2)二次関数y=2x2でxが2から5まで増加するときの変化の割合を求めよ。
(3)一次関数y=2x+5でxの変域が2≦x≦5のとき、yの変域を求めよ。
(4)一次関数y=-2x+5でxの変域が2≦x≦5のとき、yの変域を求めよ。
(5)反比例y=-30/x(マイナスx分の30)でxの変域が2≦x≦5のとき、yの変域を求めよ。
(6)二次関数y=2x2でxの変域が2≦x≦5のとき、yの変域を求めよ。

解答

(1)2
(2)14
(3)9≦y≦15
(4)-5≦y≦1
(5)-15≦y≦-6
(6)8≦y≦50

まとめ

  • 大きな違いは、変化の割合(1次関数は、一定、2次関数は一定でない。)
  • 1次関数の傾きは、変化の割合や平均の速さ等しい。
  • 2次関数の変化の割合の求め方は、a(n+m)を利用すると簡単!
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