中学3年で学習する仕事の計算も、計算ミスが続出します。計算自体は非常に単純ですが、「仕事」の意味が解っていないともったいないミスにつながりかねません。今日は仕事の計算について学習しましょう。また、仕事の計算で登場する大切な考え方に「仕事の原理」があります。動滑車や斜面、てこを使って物体を移動させる仕事の問題にも挑戦しましょう。
目次
仕事とは
理科でいう仕事とは、普段私たちが日常生活で使っている「仕事」とは意味が異なります。理科でいう「仕事」とは、物体に力を加え、力の向きに物体を移動させたときに仕事をしたといいます。
したがって、力を加えても物体が移動しなかった場合や、力を加えた向きとは違う向きに物体が移動した場合は、仕事をしたことになりません。
次のうち仕事になるのは？
- 物体を重力に逆らって持ち上げた。
- 物体を持ち上げたまま横に歩いた。
- 物体を支えたままゆっくりと床に下ろした。
- 摩擦がある床にある物体をズルズルと引っ張った。
答え
１と４
１は重力に逆らって物体を持ち上げるので、重力と逆向きの同じ大きさの力が必要です。上向きに力を加え、上向きに物体を移動させるので仕事と言えます。
４も物体と床との間にはたらく摩擦力に逆らって物体を移動させるので、摩擦力と逆向きの力を加えることになります。上の図の場合は左向きに力を加え、左に物体を移動させるので仕事と言えます。
仕事の計算
仕事は力の大きさ［N］と移動距離［ｍ］との積で求めることができます。仕事の大きさを表す単位はジュール［J］です。
仕事［J］＝力の大きさ［N］× 移動距離［ｍ］
ここで注意したいのが、必ずNとｍで計算することです。kgやgで質量が与えられている場合はNに直して計算するようにしてください。また、移動距離がcmの場合もmに必ず直してください。
例題「仕事の大きさを求めよ」
次の場合の仕事の大きさは何Jか。ただし、100gの物体にはたらく重力の大きさを1Nとする。
- ３Nの力で物体を2m持ち上げた。
- 200gの物体を0.5m持ち上げた。
- 5㎏の物体を10cm持ち上げた。
- 床にある2kgの物体を摩擦に逆らってズルズルと60cm移動させた。このとき、ばねばかりは５Nを示していた。
解答
- ３N×２m＝６J
- 200g＝２N
２N×0.5m＝1.0J - ５㎏＝5000g＝50N
10cm＝0.1m
50N×0.1m＝５J - 60cm＝0.6m
５N×0.6m＝3.0J
仕事率
仕事率とは、仕事の効率を表す量です。仕事率は1秒あたりの仕事の量を表しています。したがって、仕事率を求める場合は、仕事の大きさを、その仕事をするのにかかった時間で割って求めることになります。仕事率の単位はワット［W］になります。
仕事率［W］＝仕事［J］÷時間［秒］
1秒当たりの仕事の量を求めていることをしっかりと意識してください。掛け算をしてしまう生徒が非常に多いようです。仕事率の意味を理解していればそんなミスは起こりません。
仕事・仕事率練習問題
- 200gの物体を80cm持ち上げたときの仕事の大きさは何Jか。
- 3kgの荷物を持ったまま10m歩いた。
- 床にある6kgの荷物を30Nの力で50cmズルズルと移動させた。
- 2kgの荷物を50cm持ち上げるのに5秒かかった。このときの仕事率は何Wか。
解答
- 200g＝２N 80cm＝0.8m
２N×0.8m＝1.6J - 力の向きと動かした向きが一致しないので仕事にならない。
０J - 50cm＝0.5m
30N×0.5m＝15J - 2kg＝2000g＝20N 50cm＝0.5m
20N×0.5m＝10J
10J÷5秒＝2.0W
仕事の原理とは
いろいろな道具を使って仕事を行っても、道具を使わなかったときと仕事の大きさは同じで変わらないという原理です。
重たいものを直接持ち上げることが困難な場合、人類は様々な道具を使って弱い力でも物体を持ち上げる工夫を行ってきました。「滑車（かっしゃ）」や「斜面」、「てこ」などがその代表例です。
道具を使って弱い力で物体を持ち上げることができても、その分距離が増えるので、結果として仕事の大きさは変化しません。
定滑車を使った仕事
定滑車は、天井や壁、床などに固定されていて、その場で回転するだけで自らは上下に動かない滑車です。引く力の向きを変えるのに役立つ道具です。ただ、力の向きを変えるだけの道具ですので、引っ張る距離や力の大きさは、そのまま上げる場合と変わりません。
例題）定滑車を使って、100Nの物体を0.5m持ち上げるには、何Nの力で何m引けばよいか。またそのときの仕事の大きさは何Jか。
解答）定滑車は力の向きを変えるだけの道具ですので、力の大きさや距離は変化しません。
力の大きさ：100N 距離：0.5ｍ
仕事＝100N×0.5m＝50J
動滑車を使った仕事
動滑車は、定滑車と異なり滑車自体が上下するものです。動滑車を使うことによって、力を天井方向と引っ張る力に分けることができるので、半分の力で物体を持ち上げることができるようになっています。しかし、動滑車から上にのびるひも2本分を引かなくてはならないので、引っ張る距離は2倍になります。
動滑車の問題を解くときは、動滑車が1つ使われている場合「力半分、距離2倍！」と覚えておきましょう。また、通常は動滑車自体の重さは無視できるようになっていますが、問題によっては動滑車の重さも考えないといけない問題もありますので注意してください。
例題）重さの無視できる動滑車を1個使って、100Nの物体を0.5m持ち上げるには、何Nの力で何m引けばよいか。またそのときの仕事の大きさは何Jか。
解答）動滑車ですので「力半分、距離2倍！」です。したがって、
力の大きさ：50N 距離：1.0m
仕事＝50N×1.0m＝50J
斜面を使った仕事
斜面も弱い力で重たい物体を持ち上げることができる道具です。真上に物体を持ち上げるよりも斜めに物体を引き上げることによって引く力を小さくしてくれます。ただし、斜面の方が距離が長くなるので、仕事の大きさは結局変わらないことになります。
斜面の問題を解くときには、仕事の原理を利用して解くことが多くなります。そのまま道具を使わず物体を持ち上げたときも、斜面に沿って物体を引き上げたときも、仕事の大きさが変わらないことを利用して、斜面の長さを求めたり、斜面に沿ってどれくらいの力で引っ張ったかを計算することができます。
また、摩擦がはたらくと仕事の大きさは変わってしまいますので、理科の計算では斜面と物体の間の摩擦は考えないようにします。
例題）傾きが30°の斜面を使って、100Nの物体を0.5m持ち上げるには、何Nの力で何m引けばよいか。またそのときの仕事の大きさは何Jか。
解答）斜面の傾きが30°なので、高さと斜面の長さは1:2の関係になり、斜面の長さは1.0mであるとわかります。詳しくは中３数学の「特別な角をもつ直角三角形の辺の長さ」を学習するとわかります。斜面を使わず、そのまま真上に物体を持ち上げた場合の仕事を計算し、仕事の原理より、斜面を使って持ち上げたときも同じ仕事の大きさになることを利用します。
そのまま真上に持ち上げたときの仕事＝斜面を使った場合の仕事
100N×0.5m＝50J
斜面に沿って引く力の大きさ
50J÷1.0m＝50N
てこを使った仕事
てこを使った仕事では、支点からの左右の腕の長さが重要です。てこでは、支点からの距離と重さ(力の大きさ)の積が等しくなったときにてこが動き出します。積が等しくなるためには、腕の長さの比と重さ(力の大きさ)の比が、逆比の関係になっていなければなりません。
また、てこが動く距離は腕の長さの比と同じになります。したがって、手でてこを押して行った仕事と、物体がてこから受ける仕事の大きさは等しくなります。
例題）支点から物体までの長さが①、支点から力点までの長さ②のてこを使って、100Nの物体を0.5m持ち上げるには、何Nの力で何m押せばよいか。またそのときの仕事の大きさは何Jか。
解答）腕の長さが①：②ですので、重さと手で加える力の大きさの比は②：①になります。動く距離の比は①：②となります。
力の大きさ：50N 距離：1.0m
仕事＝50N×1.0m＝50J
仕事の原理の確認問題
- 道具を使っても、使わなくても仕事の大きさが変わらないことを何というか。
- 100Nの物体を定滑車を使って持ち上げる場合何Nの力が必要か。
- 2kgの物体を重さの無視できる動滑車を1つ使って2m持ち上げる場合、何Nの力で何m引けばよいか。
- 500Nの物体を斜面を使って80cmの高さまで持ち上げるとき、行う仕事の大きさは何Jか。また斜面に沿って引く力は何Nか。ただし、斜面に沿って1.6m引っ張たものとする。
- 支点から物体までの腕の長さが②、支点から力点までの腕に長さが③のてこを使って、6kgの物体を持ち上げる場合、力点に何Nの力を加えればよいか。
解答
- 仕事の原理
- 100N
- 10N、4m
- 400J、250N
- 40N
【理科問題❶】仕事・仕事率の計算
［問題］仕事について調べるために、次の【実験１】と【実験２】を行った。これについて、次の各問いに答えなさい。ただし、100gの物体にはたらく重力の大きさを1.0Nとする。
（1）実験１で、物体をゆっくりと真上に引き上げている間、ばねはかりは何Nを示していたか。
（2）実験１で、物体を床から60cmの高さまで持ち上げるのに必要な仕事の大きさは何Jか。
（3）実験１で、物体を床から60cmの高さまで持ち上げるたときの仕事率は何Wか。
（4）実験２で、床の上にある物体を水平に50cm引くとき、何という力に逆らって引いたか。また、その力の大きさは何Nか。
（5）実験２で、2.0㎏の物体を50cm引っ張ったときの仕事は何Jか。また、物体を50cm引くのに何秒かかったか。
【解答・解説❶】仕事・仕事率の計算
（1）20N
物体を重力に逆らって持ち上げるのに必要な力は、重力と同じ大きさになります。物体の質量は2.0㎏なので、物体にはたらく重力の大きさは、
2.0㎏＝2000g＝20N
になります。
（2）12J
仕事は、力の大きさ［N］と力の向きに動かした距離［ｍ］との積で求めることができます。
仕事［Ｊ］＝力の大きさ［Ｎ］×動かした距離［ｍ］
20Ｎの力の大きさで、その力の向きに0.6ｍ動かしたので、
20Ｎ×0.6ｍ＝12Ｊ
となります。
（3）4.0W
仕事率は、仕事の大きさ［Ｊ］をかかった時間［秒］で割ることで求まります。
仕事率［Ｗ］＝仕事［Ｊ］÷時間［秒］
12Ｊの仕事を3.0秒で行ったので、
12Ｊ÷3.0秒＝4.0Ｗ
となります。
（4）力：摩擦力 大きさ：8.0N
摩擦がある床の上で仕事を行う場合、摩擦力に逆らって仕事をすることになります。このとき、物体を引く力と摩擦力はつり合いの関係にあります。ばねはかりが8.0Ｎを指しているので、摩擦力の大きさも8.0Ｎになります。
（5）仕事：4.0J 時間：5.0秒
8.0Ｎの力の大きさで、その力の向きに0.5ｍ引いているので、仕事の大きさは、
8.0Ｎ×0.5ｍ＝4.0Ｊ
になります。
また、仕事率が0.8Ｗなので、かかった時間は、
仕事率0.8Ｗ＝仕事4.0Ｊ÷ｘ秒
これを解くと、5.0秒となります。
【理科問題❷】仕事の原理
［問題］斜面や滑車、てこなどの道具を使ったときの仕事について調べるため、次の【実験１】～【実験３】を行った。これについて、あとの問いに答えよ。ただし、100gの物体にはたらく重力の大きさを1Nとする。また、おもりと斜面との摩擦、動滑車と糸との摩擦、および物体以外のものの重さは考えないものとする。
（1）【実験１】から、この実験に使った物体の質量は何kgだとわかるか。計算により求めよ。
（2）【実験２】で、物体をばねばかりで引き上げるとき、斜面に沿って何cm引き上げたとわかるか。計算により求めよ。
（3）次の文は、【実験１】と【実験２】から分かることをまとめたものである。文の内容が正しくなるように、｛ ｝の中からそれぞれ適当なものを選び、記号で答えよ。
（4）【実験４】で、物体を50cmの高さまで上げるために、てこを手で何cm押し下げればよいか。また、このとき手がした仕事の仕事率は何Wか計算せよ。
【解答・解説❷】仕事の原理
（1）1.6㎏
動滑車を1つ使っているので、ばねはかりで引く力の大きさは、物体の重さの半分になっています。したがって、物体の重さは、
8.0N×2＝16N
1Nは100gなので、
16N＝1600g＝1.6㎏
となります。
（2）100cm
実験１と同じ物体を使っているので、そのまま真上に持ち上げたときの仕事は、
1.6㎏＝1600g＝16N
50cm＝0.5m
16N÷0.5m＝8.0J
真上に持ち上げたときの仕事の大きさも、斜面を使って持ち上げたときの仕事の大きさも同じになる（仕事の原理）ので、
8.0N×ｘ[ｍ]＝8.0J
したがって、斜面を1.0m引っ張ることになります。
（3）①イ ②ア
滑車や斜面、てこなどの道具を使った場合、道具を使わずに物体を直接持ち上げる場合と比べて、物体を引き上げる力の大きさは小さくなりますが、引っ張る距離は大きくなるので、結果として仕事の大きさは変わりません。これを仕事の原理といいます。
（4）100cm、0.8W
てこのうでの長さと、物体が弧を描いて動く距離の比は一緒になります。
うでの長さの比は、
40cm：80cm＝1：2
なので、動く距離の比も1：２になります。
1：2＝50：ｘ
ｘ＝100cm
また、物体がてこから受けた仕事の大きさは、
16N×0.5m＝8.0J
手がした仕事も8.0Jになります。かかった時間は10秒なので、仕事率は、
8.0J÷10秒＝0.8W
になります。
