中3数学三平方の定理「弦や接線の長さ」

シェアする

スポンサーリンク

中3数学三平方の定理「弦や接線の長さ」についてまとめています。ここでは、円と直角三角形の関係について、理解しておく必要があります。それでは、中3数学三平方の定理「弦や接線の長さ」をみていきましょう。

弦や接線の長さ

円と直角三角形

  • 円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通ります。(左の図参照)
  • 円外の1点から円にひいた接線は、その接点を通る半径と垂直になります。(右の図参照)
スポンサーリンク

二等辺三角形と円

円の中心Oと弦の両端を結ぶと二等辺三角形となります。(半径はどこも同じ長さですね。)
二等辺三角形の頂点から底辺に引いた垂線は、底辺を2等分します。(垂直二等分線になっています。)

  • 中心Oを頂点をする二等辺三角形を利用する問題として、頻出します。

具体例を通して学ぶ

下の図のように、半径8cmの円Oで、中心Oからの距離が6cmである弦ABの長さをも求めよ。
弦と接線の長さ

解説

  1. 左側にできた直角三角形に注目して、残りの1辺を三平方の定理を利用して求めます。(特別な直角三角形の比3:4:5を使用しても可)
  2. 求めたい長さをxとすると。x2+62=102 よってx=8 (3:5=6:xでも可)
  3. 円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通るので、先ほどの長さを倍にして、8×2=16cmとなります。

練習問題1

  1. 半径12cmの円Oで、中心Oからの距離が8cmである弦ABの長さを求めなさい。
  2. AB=AC=13cmの二等辺三角形△ABCがある。底辺であるBC=10cmのとき、この二等辺三角形の高さを求めなさい。
  3. 半径10cmの円Oで、中心との距離が8cmである弦ABの長さを求めなさい。
  4. 半径10cmの円Oで、弦CDの長さが8cmのとき、中心と弦CDの距離を求めなさい。

解答1

  1. 8√5cm
  2. 12cm
  3. 12cm
  4. 2√21cm

練習問題2

次の図で、直線ABは点Bを接点とする円Oの接線です。次の問いに答えなさい。
弦と円

  1. △OABはどのような三角形か答えよ。
  2. 円Oの半径4cm、線分OAの長さを12cmとするとき、接線ABの長さを求めなさい。

解答2

  1. 直角三角形
  2. 8√2cm

あわせて確認

以上が、中3数学三平方の定理「弦や接線の長さ」となります。キーワードは、「二等辺三角形」と「直角三角形」ですね。それぞれの定義をしっかり使いこなせるようになりましょう。

スポンサーリンク
スポンサーリンク

シェアする

スポンサーリンク