中3数学三平方の定理「弦や接線の長さ」についてまとめています。ここでは、円と直角三角形の関係について、理解しておく必要があります。それでは、中3数学三平方の定理「弦や接線の長さ」をみていきましょう。
弦や接線の長さ
- 円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通ります。(左の図参照)
- 円外の1点から円にひいた接線は、その接点を通る半径と垂直になります。(右の図参照)
二等辺三角形と円
円の中心Oと弦の両端を結ぶと二等辺三角形となります。(半径はどこも同じ長さですね。)
二等辺三角形の頂点から底辺に引いた垂線は、底辺を2等分します。(垂直二等分線になっています。)
- 中心Oを頂点をする二等辺三角形を利用する問題として、頻出します。
具体例を通して学ぶ
下の図のように、半径8cmの円Oで、中心Oからの距離が6cmである弦ABの長さをも求めよ。
解説
- 左側にできた直角三角形に注目して、残りの1辺を三平方の定理を利用して求めます。(特別な直角三角形の比3:4:5を使用しても可)
- 求めたい長さをxとすると。x2+62=102 よってx=8 (3:5=6:xでも可)
- 円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通るので、先ほどの長さを倍にして、8×2=16cmとなります。
練習問題1
- 半径12cmの円Oで、中心Oからの距離が8cmである弦ABの長さを求めなさい。
- AB=AC=13cmの二等辺三角形△ABCがある。底辺であるBC=10cmのとき、この二等辺三角形の高さを求めなさい。
- 半径10cmの円Oで、中心との距離が8cmである弦ABの長さを求めなさい。
- 半径10cmの円Oで、弦CDの長さが8cmのとき、中心と弦CDの距離を求めなさい。
解答1
- 8√5cm
- 12cm
- 12cm
- 2√21cm
練習問題2
次の図で、直線ABは点Bを接点とする円Oの接線です。次の問いに答えなさい。
- △OABはどのような三角形か答えよ。
- 円Oの半径4cm、線分OAの長さを12cmとするとき、接線ABの長さを求めなさい。
解答2
- 直角三角形
- 8√2cm
あわせて確認
以上が、中3数学三平方の定理「弦や接線の長さ」となります。キーワードは、「二等辺三角形」と「直角三角形」ですね。それぞれの定義をしっかり使いこなせるようになりましょう。