【中3数学】3学期学年末テスト対策問題（解答付き）

【中3数学】3学期学年末テスト対策問題（解答付き）です。3学期の学年末テストは、中学3年間の総まとめとなる大切な試験です。特に今回の範囲である「三平方の定理」と「標本調査」は、高校数学にもつながる重要単元のため、しっかりと理解し、確実に得点できるようにしておきましょう。三平方の定理では、直角三角形の辺の長さを求める基本問題から、座標平面や応用問題まで幅広く出題されます。標本調査では、データの集め方や分析の方法を正しく理解し、統計的な考え方を身につけることが重要です。

この記事では、試験によく出る問題を厳選し、効率的に復習できる対策問題を紹介します。繰り返し解いて実力をつけ、学年最後のテストでしっかりと成果を出しましょう！

学年	1学期中間	1学期期末	2学期中間	2学期期末	3学期学年末
中3数学	展開・因数分解	平方根・復習	二次方程式・復習	相似・二次関数②	今回：三平方の定理・標本調査

【問題】3学期学年末テスト対策問題（中3数学）
1. 【ポイント】三平方の定理
2. 【解答】3学期学年末テスト対策問題（中3数学）の解答

【問題】3学期学年末テスト対策問題（中3数学）

【問1】下の図の直角三角形で、ｘ値を求めよ。

【問2】次の問いに答えなさい。

2辺の長さが5ｃｍ、12ｃｍの長方形の対角線の長さを求めなさい。
縦の長さが5ｃｍ、対角線の長さが11ｃｍの長方形の横の長さを求めなさい。

【問3】次の長さを3辺とする三角形のうち。直角三角形はどれですか。数字で答えよ。

5ｃｍ、7ｃｍ、8ｃｍ
12ｃｍ、16ｃｍ、20ｃｍ
20ｃｍ、21ｃｍ、29ｃｍ
10ｃｍ、15ｃｍ、20ｃｍ
0.5ｃｍ、1.2ｃｍ、1.3ｃｍ
√3ｃｍ、√6ｃｍ、3ｃｍ

【問4】次のような長さから3つ選んで三角形をつくります。このとき、直角三角形になる組を2組答えなさい。ただし、3つの長さは、左から短い順に並べなさい。
（長さ）2　3　4　√5　√7　√10

【問5】次の問いに答えなさい。

1辺が8ｃｍの正方形の対角線の長さを求めなさい。
1辺が12ｃｍの正三角形の高さを求めなさい。

【問6】それぞれｘの値を求めなさい。

【問7】次の問いに答えなさい。

半径12ｃｍの円Ｏで、中心Ｏからの距離が8ｃｍである弦ＡＢの長さを求めなさい。
ＡＢ＝ＡＣ＝13ｃｍの二等辺三角形△ＡＢＣがある。底辺であるＢＣ＝10ｃｍのとき、この二等辺三角形の高さを求めなさい。
半径10ｃｍの円Ｏで、中心との距離が8ｃｍである弦ＡＢの長さを求めなさい。
半径10ｃｍの円Ｏで、弦ＣＤの長さが8ｃｍのとき、中心と弦ＣＤの距離を求めなさい。

【問8】次の図で、直線ＡＢは点Ｂを接点とする円Ｏの接線です。次の問いに答えなさい。

△ＯＡＢはどのような三角形か答えよ。
円Ｏの半径4ｃｍ、線分ＯＡの長さを12ｃｍとするとき、接線ＡＢの長さを求めなさい。

【問9】下の図は、底面が1辺6ｃｍの正方形で、側面が1辺6ｃｍの正三角形である四角すいOABCDを示したものである。このとき、次の問いに答えよ。

（1）辺OAとねじれの位置にある辺をすべてあげよ。
（2）四角すいOABCDの表面積は何ｃｍ³か。
（3）四角すいOABCDの体積は何ｃｍ³か。

【問10】全数調査と標本調査次のア~エの調査のうち、全数調査よりも標本調査が適しているものをすべて選び、記号で答えなさい。
アある会社の社員の健康診断
イある川の水質検査
ウある中学校で行う進路希望調査
エある工場で生産した缶づめの品質検査

【問11】個数の推測袋の中に同じ大きさの赤玉と白玉が合わせて300個入っている。この袋の中から玉を14個取り出したところ、その中に白玉が5個ふくまれていた。300個の玉の中に、白玉は約何個ふくまれていたと考えられますか。四捨五入して、10個単位で答えなさい。

【ポイント】三平方の定理

直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa,b、斜辺の長さをcとすると、次の関係を成り立ちます。

a²+b²=c²

これが三平方の定理です。

直角三角形の辺の長さ

直角三角形の2辺の長さがわかっているとき。三平方の定理を使うと残りの辺の長さを求めることができます。対角線を斜辺とする直角三角形に、三平方の定理をあてはめる問題も多いです。

三平方の定理の逆

△ABCで、BC=a CA=b AB=cとすると、a²+b²=c²ならば、∠C=90°となります。

直角三角形を探す問題

3辺の辺をそれぞれ2乗して考えます。

＜例＞5ｃｍ、7ｃｍ、8ｃｍの三角形は、直角三角形であるか。否か。
8²=5²+7²が成立しないので、違う。

また、辺の長さが小数や無理数であっても、a²+b²=c²が成り立てば、直角三角形です。

特別な角をもつ直角三角形

3つの角が45°、45°、90°である直角三角形の3辺の長さの割合（比）は、1：1：√2となります。
3つの角が30°、60°、90°である直角三角形の3辺の長さの割合（比）は、1：2：√3となります。

問題を解くうえでのポイント

直角三角形の2辺の長さがわかれば、三平方の定理を使って、残りの辺の長さを求めることができる。
ただし、特別な角をもつ直角三角形の辺の比は、決まっているので、比例式を利用。
正方形の対角線を引くと直角二等辺三角形や正三角形は、それぞれ45°、60°があるので、特別な角をもつ直角三角形の辺の比を利用。

弦や接線の長さ

円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通ります。（上の左の図）
円外の1点から円にひいた接線は、その接点を通る半径と垂直になります。（上の右の図）

二等辺三角形と円

円の中心Ｏと弦の両端を結ぶと二等辺三角形となります。（半径はどこも同じ長さですね。）
二等辺三角形の頂点から底辺に引いた垂線は、底辺を2等分します。（垂直二等分線になっています。）

中心Ｏを頂点をする二等辺三角形を利用する問題として、頻出します。

具体例を通して学ぶ
下の図のように、半径8ｃｍの円Ｏで、中心Ｏからの距離が6ｃｍである弦ＡＢの長さをも求めよ。

解説

左側にできた直角三角形に注目して、残りの1辺を三平方の定理を利用して求めます。（特別な直角三角形の比3：4：5を使用しても可）
求めたい長さをｘとすると。x²+6²＝10²　よってｘ＝8　（3：5＝6：ｘでも可）
円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通るので、先ほどの長さを倍にして、8×2＝16ｃｍとなります。

【解答】3学期学年末テスト対策問題（中3数学）の解答

【問1】（1）10　（2）6√3

【問2】（1）13　（2）4√6

【問3】2、3、5、6

【問4】（2、√5、3）　（√7、3、4）

【問5】（1）8√2　（2）6√3

【問6】（1）4√2　（2）4√3　（3）3√3

【問7】

8√5ｃｍ
12ｃｍ
12ｃｍ
2√21ｃｍ

【問8】

直角三角形
8√2ｃｍ

【問9】
（1）辺BC、辺CD
（2）36+36√3
（3）36√2

【問10】イ、エ

ア…社員全員の健康状態を調べることが目的なので、全数調査が適切である。
イ…川を流れる水すべてを検査することは不可能なので、部分的に水を採取し、標本調査を行う。
ウ…生徒全員の希望進路を把握する必要があるので、全数調査を行う。
エ…すべての缶づめの品質を検査すると、出荷できる商品がなくなってしまうので、標本調査を行う。

【問11】約110個

取り出した14個の玉の中に白玉が5個ふくまれていたことから、標本における白玉の割合(比率)は、5/14
これを母集団における白玉の割合と等しいとみなすと、母集団にふくまれる白玉の個数は、300×5/14=107.1…
よって、約110個。

入試では、複雑な図形の中で、その特別な角をもつ直角三角形を探したり、問題の条件を読む中で、角度を知り、「特別な角をもつ直角三角形の辺の比」を使用させたりさせる問題が多いです。演習を重ね、習得しましょう。ただし、どの都道府県でも大問1にあるような小問集合の問題には、今回のような分かり切った状態で出題され、「特別な角をもつ直角三角形の辺の比」を使わせる問題も出題されるケースもあります。そのときは、しっかり得点していくことが大切となります。