【中3数学】三平方の定理のポイント

【中3数学】三平方の定理についてまとめています。入試では、なんらかの形でほぼ100%出題されるといって過言ではありません。しっかり学習してきましょう。

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三平方の定理

直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa,b、斜辺の長さをcとすると、次の関係を成り立ちます。
三平方の定理

a2+b2=c2

これが三平方の定理です。

直角三角形の辺の長さ

直角三角形の2辺の長さがわかっているとき。三平方の定理を使うと残りの辺の長さを求めることができます。対角線を斜辺とする直角三角形に、三平方の定理をあてはめる問題も多いです。

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三平方の定理の逆

三平方の定理
△ABCで、BC=a CA=b AB=cとすると、a2+b2=c2ならば、∠C=90°となります。

直角三角形を探す問題

3辺の辺をそれぞれ2乗して考えます。

<例>5cm、7cm、8cmの三角形は、直角三角形であるか。否か。
82=52+72が成立しないので、違う。

また、辺の長さが小数や無理数であっても、a2+b2=c2が成り立てば、直角三角形です。

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特別な角をもつ直角三角形

  • 3つの角が45°、45°、90°である直角三角形の3辺の長さの割合(比)は、1:1:√2となります。
  • 3つの角が30°、60°、90°である直角三角形の3辺の長さの割合(比)は、1:2:√3となります。

問題を解くうえでのポイント

  1. 直角三角形の2辺の長さがわかれば、三平方の定理を使って、残りの辺の長さを求めることができる。
  2. ただし、特別な角をもつ直角三角形の辺の比は、決まっているので、比例式を利用。
  3. 正方形の対角線を引くと直角二等辺三角形や正三角形は、それぞれ45°、60°があるので、特別な角をもつ直角三角形の辺の比を利用。
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三平方の定理の利用

弦や接線の長さ

円と直角三角形

  • 円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通ります。(左の図参照)
  • 円外の1点から円にひいた接線は、その接点を通る半径と垂直になります。(右の図参照)

二等辺三角形と円

円の中心Oと弦の両端を結ぶと二等辺三角形となります。(半径はどこも同じ長さですね。)
二等辺三角形の頂点から底辺に引いた垂線は、底辺を2等分します。(垂直二等分線になっています。)

  • 中心Oを頂点をする二等辺三角形を利用する問題として、頻出します。

具体例を通して学ぶ
下の図のように、半径8cmの円Oで、中心Oからの距離が6cmである弦ABの長さをも求めよ。
弦と接線の長さ

解説

  1. 左側にできた直角三角形に注目して、残りの1辺を三平方の定理を利用して求めます。(特別な直角三角形の比3:4:5を使用しても可)
  2. 求めたい長さをxとすると。x2+62=102 よってx=8 (3:5=6:xでも可)
  3. 円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通るので、先ほどの長さを倍にして、8×2=16cmとなります。

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