【中3数学】三平方の定理のポイント

【中３数学】三平方の定理についてまとめています。入試では、なんらかの形でほぼ100％出題されるといって過言ではありません。しっかり学習してきましょう。

三平方の定理

直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa,b、斜辺の長さをcとすると、次の関係を成り立ちます。

a²+b²=c²

これが三平方の定理です。

直角三角形の辺の長さ

直角三角形の2辺の長さがわかっているとき。三平方の定理を使うと残りの辺の長さを求めることができます。対角線を斜辺とする直角三角形に、三平方の定理をあてはめる問題も多いです。

三平方の定理の逆

△ABCで、BC=a CA=b AB=cとすると、a²+b²=c²ならば、∠C=90°となります。

直角三角形を探す問題

3辺の辺をそれぞれ2乗して考えます。

＜例＞5ｃｍ、7ｃｍ、8ｃｍの三角形は、直角三角形であるか。否か。
8²=5²+7²が成立しないので、違う。

また、辺の長さが小数や無理数であっても、a²+b²=c²が成り立てば、直角三角形です。

特別な角をもつ直角三角形

問題を解くうえでのポイント

1. 直角三角形の2辺の長さがわかれば、三平方の定理を使って、残りの辺の長さを求めることができる。
2. ただし、特別な角をもつ直角三角形の辺の比は、決まっているので、比例式を利用。
3. 正方形の対角線を引くと直角二等辺三角形や正三角形は、それぞれ45°、60°があるので、特別な角をもつ直角三角形の辺の比を利用。

三平方の定理の利用

弦や接線の長さ

• 円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通ります。（左の図参照）
• 円外の1点から円にひいた接線は、その接点を通る半径と垂直になります。（右の図参照）

二等辺三角形と円

円の中心Ｏと弦の両端を結ぶと二等辺三角形となります。（半径はどこも同じ長さですね。）
二等辺三角形の頂点から底辺に引いた垂線は、底辺を2等分します。（垂直二等分線になっています。）

• 中心Ｏを頂点をする二等辺三角形を利用する問題として、頻出します。

具体例を通して学ぶ
下の図のように、半径8ｃｍの円Ｏで、中心Ｏからの距離が6ｃｍである弦ＡＢの長さをも求めよ。

解説

1. 左側にできた直角三角形に注目して、残りの1辺を三平方の定理を利用して求めます。（特別な直角三角形の比3：4：5を使用しても可）
2. 求めたい長さをｘとすると。x²+6²＝10²　よってｘ＝8　（3：5＝6：ｘでも可）
3. 円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通るので、先ほどの長さを倍にして、8×2＝16ｃｍとなります。