中３数学三平方の定理「弦や接線の長さ」

中３数学三平方の定理「弦や接線の長さ」についてまとめています。ここでは、円と直角三角形の関係について、理解しておく必要があります。それでは、中３数学三平方の定理「弦や接線の長さ」をみていきましょう。

弦や接線の長さ

• 円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通ります。（左の図参照）
• 円外の1点から円にひいた接線は、その接点を通る半径と垂直になります。（右の図参照）

二等辺三角形と円

円の中心Ｏと弦の両端を結ぶと二等辺三角形となります。（半径はどこも同じ長さですね。）
二等辺三角形の頂点から底辺に引いた垂線は、底辺を2等分します。（垂直二等分線になっています。）

• 中心Ｏを頂点をする二等辺三角形を利用する問題として、頻出します。

具体例を通して学ぶ

下の図のように、半径8ｃｍの円Ｏで、中心Ｏからの距離が6ｃｍである弦ＡＢの長さをも求めよ。

解説

1. 左側にできた直角三角形に注目して、残りの1辺を三平方の定理を利用して求めます。（特別な直角三角形の比3：4：5を使用しても可）
2. 求めたい長さをｘとすると。x²+6²＝10²　よってｘ＝8　（3：5＝6：ｘでも可）
3. 円の中心から弦にひいた垂線は、弦の中点を通るので、先ほどの長さを倍にして、8×2＝16ｃｍとなります。

練習問題1

1. 半径12ｃｍの円Ｏで、中心Ｏからの距離が8ｃｍである弦ＡＢの長さを求めなさい。
2. ＡＢ＝ＡＣ＝13ｃｍの二等辺三角形△ＡＢＣがある。底辺であるＢＣ＝10ｃｍのとき、この二等辺三角形の高さを求めなさい。
3. 半径10ｃｍの円Ｏで、中心との距離が8ｃｍである弦ＡＢの長さを求めなさい。
4. 半径10ｃｍの円Ｏで、弦ＣＤの長さが8ｃｍのとき、中心と弦ＣＤの距離を求めなさい。

解答1

1. 8√5ｃｍ
2. 12ｃｍ
3. 12ｃｍ
4. 2√21ｃｍ

練習問題2

次の図で、直線ＡＢは点Ｂを接点とする円Ｏの接線です。次の問いに答えなさい。

1. △ＯＡＢはどのような三角形か答えよ。
2. 円Ｏの半径4ｃｍ、線分ＯＡの長さを12ｃｍとするとき、接線ＡＢの長さを求めなさい。

解答2

1. 直角三角形
2. 8√2ｃｍ

あわせて確認

以上が、中３数学三平方の定理「弦や接線の長さ」となります。キーワードは、「二等辺三角形」と「直角三角形」ですね。それぞれの定義をしっかり使いこなせるようになりましょう。