中3数学の「式の計算の利用(連続する整数の性質の証明)」

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中3数学の「式の計算の利用(連続する整数の性質の証明)」についてまとめています。よく出題される出題パターンの1つです。しかkりおさせておきましょう。それでは、中3数学の「式の計算の利用(連続する整数の性質の証明)」です。

連続する整数

nを整数とすると

  • 偶数は2n、奇数は2n-1とおける。
  • 3の倍数は3n、3で割って1余る数は3n+1とおける。
  • 連続する2つの整数はn、n+1とおける。(整数は1ずつ増える)
  • 連続する2つの偶数は2n、2n+2とおける。(偶数は2ずつ)
  • 連続する2つの奇数は2n-1、2n+1とおける。(奇数は2ずつ)
  • 2つの偶数は2n、2n+2(2つの数が無関係なので違う文字を使う)
  • 2つの奇数は2n-1と2m-1

となります。

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倍数、割り切れることの証明

2けたの整数は、十の位の数をa, 一の位の数をbとすると、 と表すことができます。これを利用して、「2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である」ことを証明しなさい。

入れかえた2けたの整数は、10b+aと表せるので
(10a+b)2-(10b+a)2
=100a2+20ab+b2-(100b2+20ab+a2)
=99a2-99b2
=99(a2-b2)
ここで、(a2-b2)は整数なので99(a2-b2)は99×(整数)となり、99の倍数となる。
よって、2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である。

等しいことの証明

連続する3つの整数のうち、最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しいことを証明せよ。

整数nを使って、真ん中の数をnとすると、連続する3つの整数は、(n-1)、n、(n+1)と表せる。

最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は
(n-1)2+(n-1)2-2
=n2-2n+1+(n2+2n+1)-2
=2n2 …①
真ん中の整数の2乗の2倍は、
2×2
=2n2 …②
①②より最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しい

練習問題

連続する2つの奇数の積に5を加えると、4の倍数になります。このことを証明せよ。

解答

連続する2つの奇数は、整数nを使って、2n-1、2n+1と表せます。

(2n-1)(2n+1)+5
=(4n2-1)+5
=4n2+4
=4(n2+1)

2+1は整数であるから、連続する2つの奇数の積に5を加えると、4の倍数になります。

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