【中3数学】式を利用して数の性質を説明する対策問題（ポイント解説付）

【中3数学】式を利用して数の性質を説明する対策問題（ポイント解説付）についてまとめています。よく出題される出題パターンの1つです。しっかりりおさえていきましょう。

【対策問題】式を利用して数の性質を説明の問題

（1）2けたの整数は、十の位の数をa、一の位の数をbとすると、10a+bと表すことができます。これを利用して、「2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である」ことを証明しなさい。

（2）連続する3つの整数のうち、最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しいことを証明せよ。

（3）連続する2つの奇数の積に5を加えると、4の倍数になります。このことを証明せよ。

【ポイント】連続する整数の表し方

nを整数とすると
➊偶数は2n、奇数は2n－1とおける。
➋3の倍数は3n、3で割って1余る数は3n＋1とおける。
➌連続する２つの整数はn、n＋1とおける。（整数は1ずつ増える）
➍連続する２つの偶数は2n、2n＋2とおける。（偶数は2ずつ）
➎連続する２つの奇数は2n－1、2n＋1とおける。（奇数は2ずつ）
➏２つの偶数は2n、2n+2（2つの数が無関係なので違う文字を使う）
➐２つの奇数は2n－1と2m－1
となります。

【解答】式を利用して数の性質を説明の問題

（1）入れかえた2けたの整数は、10b+aと表せるので
(10a+b)²－（10b+a）²
=100a²+20ab+b²－(100b²+20ab+a²)
=99a²－99b2
=99(a²－b²)
ここで、(a²－b²)は整数なので99(a²－b²)は99×（整数）となり、99の倍数となる。
よって、2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である。

（2）整数ｎを使って、真ん中の数をｎとすると、連続する3つの整数は、（ｎ－1）、ｎ、（ｎ＋1）と表せる。
最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は
（ｎ－1）²+（ｎ－1）²－２
＝ｎ²－2ｎ+1＋（ｎ²＋2ｎ+1）－2
＝2ｎ²　…①
真ん中の整数の2乗の2倍は、
ｎ²×2
＝2ｎ²　…②
①②より最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しい

（3）連続する2つの奇数は、整数ｎを使って、2ｎ-1、2ｎ+1と表せます。
（2ｎ-1）（2ｎ+1）+5
＝（4ｎ²-1）+5
＝4ｎ²+4
＝4（ｎ²+1）
ｎ²+1は整数であるから、連続する2つの奇数の積に5を加えると、4の倍数になります。