【定期テスト対策問題】平行四辺形の性質を使った証明問題

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【定期テスト対策問題】平行四辺形の性質を使った証明・平行四辺形になることの証明です。

ポイント 【中2数学】平行四辺形の証明のポイント

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【対策問題】平行四辺形の証明

【1】次の図の平行四辺形ABCDの対策線BD上に、点E、FをBE=DFとなるようにとります。このとき、AE=CFであることを証明せよ。
平行四辺形証明図形

【2】平行四辺形ABCDで, 対角線の交点Oを通る直線を,右の図のようにひき, 2辺AB, CD との交点を, それぞれ, P, Q とします。このとき, OP=OQ となることを証明しなさい。
平行四辺形証明問題3

【3】図のように, 平行四辺形ABCDの頂点A, Cから対角線BDに, それぞれ垂線AP, CQをひくとき, AP=CQであることを次のように証明しました。(   )にあてはまるものを書きなさい。
平行四辺形証明4
△ABP と( ア )で,
平行四辺形の性質から( イ )………①
平行線の ( ウ )は等しいから( エ )………②
仮定から, ( オ )=90°………③
①,②,③ から, 直角三角形の ( カ )が,
それぞれ等しいので, △ABP≡( ア )よって, ( キ )

【4】平行四辺形ABCDの辺AB, CD, DA 上に, それぞれ,点E, F, G, H を,AE=CG, BF=DHとなるようにとります。このとき, 四角形EFGHは, どんな四角形になりますか。証明し答えなさい。
平行四辺形になることの証明2

【5】次のような四角形ABCDは、平行四辺形であるといえるか答えよ。

  1. AB=5cm、CD=5cm、AD//BC
  2. AB=5cm、CD=5cm、∠B=60°、∠C=120°
  3. ∠A=∠C=70°、∠B=110°
  4. ∠A=∠B=70°、∠C=110°

【解答・解説】平行四辺形の証明

【1】
△ABEと△CDFで、
仮定より、BE=DF…①
AB//DCより錯角が等しいので、∠ABE=∠CDF…②
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので、AB=CD…③
①②③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△CDF
合同な図形では、対応する辺は等しいので、AE=CF

【2】
△AOP と △COQ で,
平行四辺形の対角線は, それぞれの中点で交わるから, AO=CO ……………… ①
AB // CD だから∠AOP=∠COQ ……… ②
対頂角は等しいから,∠AOP=∠COQ ……… ③
①, ②, ③ より, 1辺と両端の角がそれぞれ等しいから
△AOP≡△COQ
よって, OP=OQ

【3】
ア △CDQ
イ AB=CD
ウ 錯角
エ ∠ABP=∠CDQ
オ ∠APB=∠CQD
カ 斜辺と1つの鋭角
キ AP=CQ

【4】
△AEHと△CGFにおいて
仮定より、AE=CG…①
平行四辺形の向かいあう角は等しいから、∠EAH=∠GCF…②
また,AD=BC,かつHD=BF だからAH=CF…③
① ② ③ より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△AEH≡△CGF
EH=FG…④
同様にして,△BEF≡△DGHよって, EF=HG…⑤
④,⑤より,2組の向かいあう辺がそれぞれ等しいから、
四角形EFGHは平行四辺形である。

【5】

  1. いえない
  2. いえる(1組の向かいあう辺が、等しく平行であるという条件になる)
  3. いえる(2組の向かいあう角が、それぞれ等しいという条件になる)
  4. いえない
中学数学
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この記事を書いた人
君島琴美

Examee編集長。このサイトでは、理科以外の教科を担当。基礎学習サイトPikuuのライターも務める。普段の学習塾では、数学、面接、総合型選抜対策の講座を受け持つ。エグゼクティブ講師として、数々の難関高校、難関大学への合格者を輩出している。

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