【中2数学】3学期学年末テスト対策問題（解答付き）

【中2数学】3学期学年末テスト対策問題（解答付き）です。3学期の学年末テストは、中学2年生の総まとめとなる大切なテストです。特に今回の中心である「図形の証明」と「確率」は、しっかりと理解しておくことで高校数学にもつながる重要な単元です。図形の証明では、合同や性質を論理的に説明する力が求められます。また、確率では、基本的な考え方から応用まで幅広く問われることが多いため、パターンを押さえておくことがポイントです。

この記事では、試験によく出る問題を厳選し、効率よく復習できる対策問題を紹介します。繰り返し解いて自信をつけ、学年末テストで高得点を目指しましょう！

学年	1学期中間	1学期期末	2学期中間	2学期期末	3学期学年末
中2数学	多項式・式の証明	連立方程式	連立文章題・一次関数①	合同な図形・一次関数②	今回：図形の証明・確率

【問題】3学期学年末テスト対策問題（中2数学）
1. 【解答・解説】3学期学年末テスト対策問題（中2数学）の解答

【問題】3学期学年末テスト対策問題（中2数学）

【1】次の図の平行四辺形ＡＢＣＤの対策線ＢＤ上に、点Ｅ、ＦをＢＥ＝ＤＦとなるようにとります。このとき、ＡＥ＝ＣＦであることを証明せよ。

【2】平行四辺形ABCDで, 対角線の交点Oを通る直線を,右の図のようにひき, ２辺AB, CD との交点を, それぞれ, P, Q とします。このとき, OP＝OQ となることを証明しなさい。

【3】図のように, 平行四辺形ABCDの頂点A, Cから対角線BDに, それぞれ垂線AP, CQをひくとき, AP＝CQであることを次のように証明しました。(　　　）にあてはまるものを書きなさい。

△ABP と（ア）で,
平行四辺形の性質から( イ）………①
平行線の ( ウ）は等しいから( エ）………②
仮定から, ( オ）＝90°………③
①,②,③ から, 直角三角形の ( カ）が,
それぞれ等しいので, △ABP≡( ア）よって, ( キ）

【4】平行四辺形ABCDの辺AB, CD, DA 上に, それぞれ,点E, F, G, H を,AE＝CG, BF＝DHとなるようにとります。このとき, 四角形EFGHは, どんな四角形になりますか。証明し答えなさい。

【5】次のような四角形ＡＢＣＤは、平行四辺形であるといえるか答えよ。

ＡＢ＝5ｃｍ、ＣＤ＝5ｃｍ、ＡＤ//ＢＣ
ＡＢ＝5ｃｍ、ＣＤ＝5ｃｍ、∠Ｂ＝60°、∠Ｃ＝120°
∠Ａ＝∠Ｃ＝70°、∠Ｂ＝110°
∠Ａ＝∠Ｂ＝70°、∠Ｃ＝110°

【6】赤玉９個が入っている袋から玉を１個取り出すとき, 次の確率を求めなさい。
(1) 赤玉が出る確率
(2) 青玉が出る確率

【7】３枚の硬貨を同時に投げるとき, 次の問いに答えなさい。
(1) ３枚とも表となる確率を求めなさい。
(2) 次の(ア), (イ) のうち, 起こりやすいのはどちらですか。
(ア) １枚が表で２枚が裏
(イ) ３枚とも表または３枚とも裏

【8】２つのサイコロを同時に投げるとき, 次の確率を求めなさい。
(1) 出る目の数の和が６になる確率
(2) 出る目の数の和が10 以上になる確率

【9】1，2，3，4の数字が書かれた４枚のカードがあります。この４枚のカードをよくきって、１枚ずつ２回続けて取り出し、取り出した順に左から右に並べて、２けたの整数をつくります。このようにしてできた整数が、奇数となる確率を求めなさい。

【10】１から７までの数字を書いたカードが１枚ずつある。この７枚のカードから同時に２枚を取り出し、数字の大きい順に左から右に並べて２けたの整数をつくる。この整数について、整数が奇数となる確率を求めなさい。

【解答・解説】3学期学年末テスト対策問題（中2数学）の解答

【1】
△ＡＢＥと△ＣＤＦで、
仮定より、ＢＥ＝ＤＦ…①
ＡＢ//ＤＣより錯角が等しいので、∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ…②
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので、ＡＢ＝ＣＤ…③
①②③より２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ＡＢＥ≡△ＣＤＦ
合同な図形では、対応する辺は等しいので、ＡＥ＝ＣＦ

【2】
△AOP と △COQ で,
平行四辺形の対角線は, それぞれの中点で交わるから, AO＝CO ……………… ①
AB // CD だから∠AOP＝∠COQ ……… ②
対頂角は等しいから,∠AOP＝∠COQ ……… ③
①, ②, ③ より, １辺と両端の角がそれぞれ等しいから
△AOP≡△COQ
よって, OP＝OQ

【3】
ア △CDQ
イ AB＝CD
ウ錯角
エ　∠ABP＝∠CDQ
オ　∠APB＝∠CQD
カ　斜辺と1つの鋭角
キ　AP＝CQ

【4】
△AEHと△CGFにおいて
仮定より、AE＝CG…①
平行四辺形の向かいあう角は等しいから、∠ＥAＨ＝∠ＧCＦ…②
また,AD＝BC,かつHD＝BF だからAH＝CF…③
① ② ③ より、２辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△AEH≡△CGF
EH＝FG…④
同様にして,△BEF≡△DGHよって, EF＝HG…⑤
④,⑤より,２組の向かいあう辺がそれぞれ等しいから、
四角形EFGHは平行四辺形である。

【5】