中2数学「平行四辺形の証明」

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平行四辺形の定義・性質(定理)・条件の比較と違いです。定期テストでは、テスト範囲になっていれば、必ずと言って出題されるわけですが、しっかりその違いを把握していないとなかなか満点といかないようです。確実におさえておく必要があります。それでは、平行四辺形の定義・性質(定理)・条件の比較と違いです。

平行四辺形

図形 定義 性質(定理) 条件
平行四辺形 2組の対辺(向かい合う辺)がそれぞれ平行な四角形 2組の対辺(向かい合う辺)はそれぞれ等しい。 2組の対辺(向かい合う辺)がそれぞれ平行
2組の対角(向かい合う角)はそれぞれ等しい。 2組の対辺(向かい合う辺)はそれぞれ等しい。
対角線はそれぞれ(おのおの)の中点で交わる。 2組の対角(向かい合う角)はそれぞれ等しい。
対角線はそれぞれ(おのおの)の中点で交わる。
1組の対辺(向かい合う辺)が平行でその長さが等しい。

平行四辺形の証明では、平行線の性質のうち、錯覚や同位角がそれぞれ等しいということや対頂角は等しいということは知っておく必要があります。平行四辺形の証明では、ほぼ100%使うと思っていていいでしょう。

次の平行四辺形に関する証明は、「平行四辺形の性質をつかっておこなう証明」と「平行四辺形になることを証明」と大きく2つあります。

平行四辺形の証明の練習問題1

次の図の平行四辺形ABCDの辺AD,BC上にAE=CFとなるように点E、Fをとるとき、BE=DFになることを証明せよ。
平行四辺形証明

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解答1

△ABEと△CDFで、
仮定より、AE=CF…①
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので、AB=CD…②
平行四辺形の向かい合う角は等しいので、∠EAB=∠FCD…③
①②③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△CDF
合同な図形では、対応する辺は等しいので、BE=DF

平行四辺形の証明の練習問題2

次の図の平行四辺形ABCDの対策線BD上に、点E、FをBE=DFとなるようにとります。このとき、AE=CFであることを証明せよ。
平行四辺形証明図形

解答2

△ABEと△CDFで、
仮定より、BE=DF…①
AB//DCより錯角が等しいので、∠ABE=∠CDF…②
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので、AB=CD…③
①②③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△CDF
合同な図形では、対応する辺は等しいので、AE=CF

平行四辺形の証明の練習問題3

平行四辺形ABCDで, 対角線の交点Oを通る直線を,右の図のようにひき, 2辺AB, CD との交点を, それぞれ, P, Q とします。このとき, OP=OQ となることを証明しなさい。
平行四辺形証明問題3

解答3

△AOP と △COQ で,
平行四辺形の対角線は, それぞれの中点で交わるから, AO=CO ……………… ①
AB // CD だから∠AOP=∠COQ ……… ②
対頂角は等しいから,∠AOP=∠COQ ……… ③
①, ②, ③ より, 1辺と両端の角がそれぞれ等しいから
△AOP≡△COQ
よって, OP=OQ

平行四辺形の証明の練習問題4

図のように, 平行四辺形ABCDの頂点A, Cから対角線BDに, それぞれ垂線AP, CQをひくとき, AP=CQであることを次のように証明しました。(   )にあてはまるものを書きなさい。
平行四辺形証明4

(証明)
△ABP と( ア )で,
平行四辺形の性質から( イ )………①
平行線の ( ウ )は等しいから( エ )………②
仮定から, ( オ )=90°………③
①,②,③ から, 直角三角形の ( カ )が,
それぞれ等しいので, △ABP≡( ア )よって, ( キ )

解答4

ア △CDQ イ AB=CD ウ 錯角 エ ∠ABP=∠CDQ オ ∠APB=∠CQD カ 斜辺と1つの鋭角
キ AP=CQ 以上

平行四辺形であることの練習問題1

次のような四角形ABCDは、平行四辺形であるといえるか答えよ。

  1. AB=5cm、CD=5cm、AD//BC
  2. AB=5cm、CD=5cm、∠B=60°、∠C=120°
  3. ∠A=∠C=70°、∠B=110°
  4. ∠A=∠B=70°、∠C=110°

平行四辺形であることの解答1

  1. いえない
  2. いえる(1組の向かいあう辺が、等しく平行であるという条件になる)
  3. いえる(2組の向かいあう角が、それぞれ等しいという条件になる)
  4. いえない

平行四辺形であることの練習問題2

平行四辺形ABCDの対角線BD上に点E、FをBE=DFとなるようにとります。このとき、四角形AECFは平行四辺形であることを証明しなさい。
平行四辺形になることの証明1

平行四辺形であることの解答2

点AとCを結び、BDとの交点をOとする。
四角形ABCDは平行四辺形だから
AO=CO…①
BO=DO…②
EO=BO-BE、FO=DO-DFより、BE=DF…③
②③より、EO=FO…④
①4より、対角線が、それぞれの中点で交わるので、四角形AECFは平行四辺形です。

平行四辺形であることの練習問題3

平行四辺形ABCDの辺AB, CD, DA 上に, それぞれ,点E, F, G, H を,AE=CG, BF=DHとなるようにとります。このとき, 四角形EFGHは, どんな四角形になりますか。証明し答えなさい。
平行四辺形になることの証明2

平行四辺形であることの解答3

△AEHと△CGFにおいて
仮定より、AE=CG…①
平行四辺形の向かいあう角は等しいから、∠EAH=∠GCF…②
また,AD=BC,かつHD=BF だからAH=CF…③
① ② ③ より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△AEH≡△CGF
EH=FG…④
同様にして,△BEF≡△DGHよって, EF=HG…⑤
④,⑤より,2組の向かいあう辺がそれぞれ等しいから、
四角形EFGHは平行四辺形である。

平行四辺形のなかま

  • 平行四辺形のうち、4つの角が等しく(つまり90°)なると長方形
  • 平行四辺形のうち、4つの辺が等しくなるとひし形
  • 平行四辺形のうち、4つの角と辺が等しくなると正方形

まとめ

  • 平行四辺形になるための条件は、定義と性質(定理)に「1組の対辺(向かい合う辺)が平行でその長さが等しい。」を加えたもの
  • 平行四辺形の証明は、平行線の性質や対頂角は等しいは、よく使う。
  • 平行四辺形の仲間に、長方形、ひし形、正方形がある。

■その他の図形
学習中2数学「三角形の合同の証明の流れ」
学習中2数学「直角三角形」
学習中2数学「二等辺三角形」

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