【中学1年理科】 フックの法則・ばねの計算問題

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今日は力の単元で登場する「ばね」について学習を進めていきます。ばねといえば、有名な「フックの法則」が登場します。演習を積み重ね、フックの法則をマスターしましょう。

ばねにはたらく力

ばねに力を入れて引っ張たり、押し縮めたりすると元に戻ろうとする力がはたらきます。この物体が元に戻ろうとする力を弾性力といいます。

ばねにはたらく弾性力は、ばねが伸びれば伸びるほど、縮まれば縮まるほど大きくなります。これはフックの法則と呼ばれています。

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フックの法則

フックの法則とは、ばねののびと弾性力の大きさが比例するということです。気をつけたいのが、「ばねの長さ」ではなく「ばねののび」と比例することです。このフックの法則を式にすると比例の式になります。

弾性力=kx
k…ばね定数(ばねの硬さを表す)
x…ばねののび・ちぢみ

ばね・フックの法則のポイント!❶ばねが元に戻ろうとする力を弾性力という!
❷ばねののびと暖戦力の大きさは比例する(フックの法則)

ばねの長さとのび・自然長

問題によって、ばねののびを聞いてくる問題とばねの長さを聞いてくる問題がありますので注意が必要です。

フックの法則

自然長

ばねに何もつるしていないときの、ばね自体の長さのことを自然長といいます。ばねの長さを求める問題では、ばねののびに自然長を足すことで、ばねの長さを求めることができます。また、ばねの長さが与えられた場合、フックの法則を使って計算するためには、自然長を引いてばねののびに直す必要があります。

自然長=ばねの長さ-ばねののび

ばねののび

自然長の状態から伸びて長くなった部分がばねののびになります。ばねののびとおもりの重さにはフックの法則が成り立ちます。つまり、ばねののびとおもりの重さには比例関係があります。ばねの長さが与えられた場合、自然長を引いてばねの長さにします。

ばねののび=ばねの長さ-自然長

ばねの長さ

おもりをつるしたときのばね全体の長さです。もともとの自然長も、おもりをつるしたことによるのびも、すべて足し合わせた長さになります。ばねの長さを求める場合、フックの法則で計算したばねののびに、自然長を足す必要があります。

ばねの長さ=ばねののび+自然長

ばね・フックの法則の確認問題

  1. ばねのように、元に戻ろうとする性質を何というか。
  2. ばねのように、元に戻ろうとする力を何というか。
  3. ばねにはたらく強さとばねののびが比例することを何というか。
  4. 何もつるしていないときのばねの長さを何というか。
  5. 1.0Nのおもりをつるすと5.0cm伸びるばねに0.8Nのおもりをつるすと、ばねののびは何cmになるか。
  6. 何もつるしていないときの長さが10cmのばねに、1.0Nのおもりをつるすと、ばねの長さが12cmになった。このばねに4.0Nのおもりをつるすと、何cmの長さになるか。

解答

  1. 弾性
  2. 弾性力
  3. フックの法則
  4. 自然長
  5. 4.0cm
  6. 18cm

ばねの直列つなぎ・並列つなぎ

ばねののび、フックの法則の問題では、ばねを2本使った応用問題が出題されます。まっすぐ縦に2本つないだ「直列つなぎ」と、横に並べて2本つないだ「並列つなぎ」になります。

ばねの直列・並列

ばねを直列につないだ場合と、並列につないだ場合では、ばねがどのようにのびるのか簡単にみていきましょう。ばね自体の重さは無視できるものとして考えていきましょう。

ばねの直列つなぎ

同じばねを直列につないだ場合、2本のばねの伸びの合計は、1本のときの2倍になります。例えば、1Nのおもりをつり下げると4cm伸びるばねがあったとします。このばねを2本直列につなぎ1Nのおもりをつり下げると、2本のばねの伸びの合計は8cmになります。

これは、直列にばねをつないだ場合、2本のばねそれぞれに1Nの力が加わるからです。なので、それぞれ4cmずつ伸び、合計で2倍の8cm伸びるわけです。

ばねの直列

ばねの並列つなぎ

同じばねを並列につないだ場合、2本のばねの伸びは、それぞれ1本のときの1/2倍になります。例えば、1Nのおもりをつり下げると4cm伸びるばねがあったとします。このばねを2本並列につなぎ1Nのおもりをつり下げると、2本のばねはそれぞれ2cmずつのびることになります。

これは、並列にばねをつないだ場合、2本のばねそれぞれに1Nの半分の0.5Nの力が加わるからです。なので、それぞれ2cmずつ伸びるわけです。

ばねの並列

ばねの直列・並列 まとめ

ばねの直列と並列についてまとめると、ばねにある重さのおもりをつり下げるとacmのびたとすると、直列つなぎと並列つなぎに次のようなのびになります。

ばねの直列・並列 まとめ

ただし、これは同じばねを使った場合です。伸び方が異なるばねを使った場合は当てはまらないのでそれぞれ計算することになります。

【理科問題❶】ばねの計算問題

下の図のようにばねに50gのおもりを1個つり下げたところばね全体の長さが25cmになった。次に50gのばねを2個つり下げたところ、ばね全体の長さが29cmになった。グラフはこのときのばねにつり下げたおもりの質量とばねののびをまとめたものである。100gの物体にはたらく重量を1Nとして、次の各問いに答えよ。

ばねののび

(1)実験の結果から、ばねののびとおもりの質量にはどのような関係があるとわかるか。

(2)このばねは1Nあたり何cm伸びるばねか。

(3)何もつるしていないときのばねの長さは何cmか。

(4)このばねに300gのおもりをつるすと何cmののびになるか。

(5)このばねに150gのおもりをつるすと、ばね全体の長さは何cmになるか。

(6)このばねの長さが41cmになるには、50gのおもりを何個つるせばよいか。

(7)このばねを2本並列につなぎ100gのおもりをつるすと、ばねの長さは何cmになるか。

【解答・解説❶】ばねの計算問題

(1)比例関係
グラフが原点を通る直線なので、ばねののびとおもりの質量には比例関係があるとわかります。

(2)8cm
1Nは100gの重さになるので、グラフより100gのおもりをつるすと8cm伸びるとわかる。

(3)21cm
グラフから50gのおもりをつるすとばねが4cm伸びるとわかります。また、問題文より50gのおもりをつるしているとき、ばね全体の長さが25cmになっているので、何もつるしていないときのばねの長さ(自然長)は、
25cm-4cm=21cm
になります。

(4)24cm
2より1N(100g)のおもりをつるすと8cm伸びるとわかったので、3N(300g)のおもりをつるすと、
1N:8cm=3N:xcm
x=24cm
ばねは24cm伸びるとわかる。

(5)33cm
2より1N(100g)のおもりをつるすと8cm伸びるとわかったので、1.5N(150g)のおもりをつるすと、
1N:8cm=1.5N:xcm
x=12cm (※グラフから12cmを読み取っても良い)
これに、何もつり下げていないときのばねの長さを加えると、
12cm+21cm=33cm

(6)5個
ばねの長さが41cmのとき、ばねののびは、
41cm-21cm=20cm
ばねが20cm伸びるためには、
1N:8cm=xN:20cm
x=2.5N
2.5Nは250gなので、
250g÷50g=5個
50gのおもりを5個つるせばよいとわかる。

(7)25cm
ばねを並列につなぐと、おもりの重さが2つに均等に分かれて加わるので、
1N(100g)÷2本=0.5N(50g)
の重さが並列につないだばね1本あたりに加わることになる。
グラフより0.5N(50g)のおもりをつり下げると4cm伸びることから、ばねの長さは、
4cm+21cm=25cm
となる。

【理科問題❷】ばねを水平に引く問題

ばねAとさまざまな質量のおもりを用いて、次の実験1と実験2を行った。これについて、後の各問いに答えよ。ただし、実験に登場するばねや糸の重さは無視できるものとし、100gの質量にはたらく重量を1.0Nとする。

実験1

下の図1のように、ばねAの一端を天井に固定しいろいろな質量のおもりをつるし、ばねの長さを測定した。表は、つるしたおもりの質量とばねAの長さの関係を表にしたものである。

おもりの質量[g] 50 100 150 200 250 300 350 400 450
ばねの長さ[cm] 10 12 14 16 18 20 22 24 26
実験2

下の図2のように、摩擦のない2個の滑車を水平な台にとりつけ、ばねAの両端に質量250gのおもりPをつるした。静かに手を離したところ、おもりはその場で静止した。

実験3

下の図3のように、摩擦のない2個の滑車を水平な台にとりつけ、ばねAの両端に質量250gのおもりPと、質量320gのおもりQをつるした。おもりQは全体を水の中に入れた状態である。静かに手を離すと、両方のおもりはその場で静止した。

水平なばね

(1)実験1で、ばねAに質量250gのおもりPをつるすと、ばねAの伸びは何cmになるか。

(2)実験2で、ばねの両端に質量250gのおもりPをそれぞれつるすと、ばねAの長さは何cmになるか。

(3)実験3で、おもりQにはたらく浮力は何Nになるか。

(4)実験3で、ばねAの伸びは何cmになるか。

【解答・解説❷】ばねを水平に引く問題

(1)10cm

表より、50gおもりの質量が増加すると、ばねが2cm伸びていることから、ばねに何もつるしていないときの長さ(自然長)は、10cm-2cm=8cmであるとわかります。表から250gの重しをつるすと、ばねの長さが18cmになっていることから、
18cm-8cm=10cm
ばねの伸びは10cmであるとわかります。

(2)18cm

おもりPを、図1と図2のようにつりさげた場合、ばねAに加わる力の大きさは同じになります。図1では、ばねPはおもりによって下向きに2.5N、天井によって上向きに2.5Nで引かれています。図2でも、ばねPはおもりによって右向きに2.5N、左向きに2.5Nで引かれています。つまり、図1も図2も両側から2.5Nずつで引かれていることになります。したがって、ばねののびは10cm、自然長8cmを足して、ばねの長さは18cmになります。

ばねを水平に引く

(3)0.7N

ばねAの左側に質量250gのおもりPがつりさげてあり、それとばねの右側に、水の中に入れてつりさげてある質量320gのおもりQがつりあっているので、下の図のようにおもりQには水の中で受ける上向きの力である浮力が生じています。その大きさは、
3.2N-2.5N=0.7N になります。

ばねと浮力

(4)10cm

おもりQには浮力が0.7N生じているので、結局、ばねAは両側から2.5Nで引っ張られていることになります。したがって、実験2の図2と同じ状態になります。ばねののびと、ばねの長さのどちらを問われているのか注意しながら解答するようにしましょう。

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