【中2数学】2学期期末テスト対策問題(解答付き)

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【中2数学】2学期期末テスト対策問題(解答付き)です。2学期期末テストでは、「合同な図形」と「一次関数の総合問題」が中心となり、数学の理解を深めるうえで重要な単元が出題されます。どちらも基本的な知識だけでなく、応用力も試されるため、しっかりと対策をしておくことが大切です。合同な図形では、三角形の合同条件や証明の書き方を正しく理解し、論理的に説明する力が求められます。一方、一次関数の総合問題では、グラフの読み取り、変化の割合、文章題など、多様な問題形式に対応する必要があります。

この記事では、テストによく出る問題を厳選し、基礎から応用までバランスよく学べる対策問題を紹介します。しっかりと復習し、テスト本番で確実に得点できるように準備を進めましょう!

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中2数学 多項式・式の証明 連立方程式 連立文章題・一次関数① 今回:合同な図形・一次関数② 図形の証明・確率
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【問題】2学期期末テスト対策問題(中2数学)

【1】次の図のように、正方形ABCDの対角線の交点をOとする。辺AB上に点Eをとり、直線EOと辺CDとの交点をFとするとき、△EBOと△FDOが合同であることを証明をしなさい。
正方形の証明問題

【2】次の図のように、∠ABC=45°である△ABCがある。頂点Aから辺BCにひいた垂線と辺BCとの交点をDとし、線分AD上に、DC=DEとなる点Eをとり、点Bと点Eを結ぶ。このとき、△ADC≡△BDEであることを証明しなさい。
三角形の証明問題

【3】次の図の正三角形ABCで、辺BC、AC上にそれぞれ点D、Eをとり、線分ADと線分BEとの交点をFとする。∠BFD=60°のとき、△ABD≡△BCEであることを証明しなさい。
正三角形の証明問題

【4】次の図で、△ABCは∠A=90°の直角三角形である。辺BC上にAB=BDとなる点Dをとり、点Dを通る辺BCの垂線と辺ACとの交点をEとする。このとき、AE=DEであることを証明しなさい。
直角三角形の証明問題

【5】次の図のように、AB<ADである平行四辺形ABCDを、対角線BDを折り目として折り返し、折り返したあとの頂点Cの位置をEとする。辺ADと線分BEとの交点をFとするとき、△ABF≡△EDFであることを証明しなさい。
平行四辺形の証明問題

【6】次の図で、四角形ABCDはAD//BCの台形である。辺CDの中点をEとし、線分AEの延長と辺BCの延長との交点をFとする。点Aと点C、点Dと点Fを結ぶとき、四角形ACFDは平行四辺形になることを証明しなさい。
平行四辺形の性質の証明問題

【7】次の問いに答えなさい・
(1) 傾きが2、切片が4である1次関数の式を求めよ。

(2)2 点(1,3)、(4,6)を通る直線の式を求めよ。

(3)1 次関数y=3x+6で、xの値が1から4まで増加したときの変化の割合を求めなさい。

(4)1 次関数y=3x+2で、xの変域が1≦x≦3のとき、yの変域を求めよ。

(5)直線y=2x+6とy軸との交点の座標を求めよ。

【8】図のように直線ℓであるy=−1/2x+6と直線mであるy=2x-2がある。x軸上の点Pを通り、y軸に平行な直線を引き、ℓ、mとの交点をそれぞれQ、Rとする。点Pのx座標をkとして次の問いに答えなさい。
一次関数応用問題線分の長さが等しくなる問題

(1)点Q、点Rの座標をkで表しなさい。

(2)RQ=2になるときkの値を求めなさい。

(3)RQ=PQとなるときのkの値を求めなさい。

【解答・解説】2学期期末テスト対策問題(中2数学)

2つの三角形が「合同である」ことを証明するためには、その2つの三角形が「合同条件を満たす」ことが必要があります。なので、「合同条件に必要な等しい辺や角」を見つけ、「その辺や角が等しくなる根拠」を整理することが大切です。コツとしては、証明する図形の組を最後の結論を決定して、記述していくといいでしょう。
【1】
△EBOと△FDOにおいて、
正方形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、BO=DO…➀
対頂角は等しいから、∠BOE=∠DOF…➁
平行線の錯角は等しいから、∠EBO=∠FDO…➂
➀➁➂より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、△EBO≡△FDO

【2】
△ADCと△BDEにおいて、
仮定より、DC=DE…➀
∠ADB=90°、∠ABD=45°より、△ABDは直角二等辺三角形だから、AD=BD…➁
∠ADC=∠BDE…➂
➀➁➂より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、△ADC≡△BDE

【3】
△ABDと△BCEにおいて
△ABCは正三角形だから、AB=BC…➀
△ABCは正三角形だから、∠ABD=∠BCE…➁
∠BAD=∠BFD-∠ABF=60°-∠ABF…➂
∠CBE=∠ABD-∠ABF=60°-∠ABF…④
➂➃より、∠BAD=∠CBE…➄
➀➁➄より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、△ABD≡△BCE

【4】
点Bと点Eを結ぶ。
△ABEと△DBEにおいて、
仮定より、∠BAE=∠BDE=90°…➀
AB=DB…➁
共通な辺だから、BE=BE…➂
➀➁➂より、直角三角形で、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから、△ABE≡△DBE
よって、AE=DE

【5】
△ABFと△EDFにおいて、
平行四辺形の対辺だから、AB=DC…➀
折り返した辺だから、ED=DC…➁
➀➁より、AB=ED…➂
平行四辺形の対角だから、∠BAF=∠C…④
折り返した角だから、∠DEF=∠C…➄
➃➄より、∠BAF=∠DEF…⑥
対頂角だから、∠AFB=∠EFD…⑦
⑥⑦より、残りの角も等しいから、
∠ABF=∠EDF…⑧
➂⑥⑧より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、△ABF≡△EDF

【6】
△AEDと△FECにおいて、
点Eは辺CDの中点だから、DE=CE…➀
対頂角だから、∠AED=∠FEC…➁
AD//CFだから、∠ADE=∠FCE…➂
➀➁➂より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、△AED≡△FEC
よって、AD=FC…➃
➃とAD//CFより、1組の対辺が平行でその長さが等しいから、四角形ACFDは平行四辺形になる。

〔別解〕
△AEDと△FECにおいて、
点Eは辺CDの中点だから、DE=CE…➀
対頂角だから、∠AED=∠FEC…➁
AD//CFだから、∠ADE=∠FCE…➂
➀➁➂より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、△AED≡△FEC
よって、AE=FE…➃
➀と➃より、対角線がそれぞれの中点で交わるから、四角形ACFDは平行四辺形になる。

■ 平行四辺形になるための条件
・2組の対辺がそれぞれ平行である。(定義)
・2組の対辺がそれぞれ等しい。
・2組の対角がそれぞれ等しい。
・対角線がそれぞれの中点で交わる。
・1組の対辺が平行でその長さが等しい。

【7】
(1)y=2x+4
(2)y=x+2
(3)3
(4)5≦y≦11
(5)(0,6)

【8】
(1)Q:(k,-1/2k+6) R(k,2k-2)
x座標は、kであることが分かっている(座標pのx=kかつ、y軸に平行な直線)ので、それぞれx=kを代入して求める。(点Qは、y=−1/2x+6に、点Rは、y=2x-2に)

(2)k=4
一次関数応用線分の長さを求める解説図
(2k-2)-(-1/2k+6)=2の方程式を解く。

(3)k=14/3
(2k-2)-(-1/2k+6)=(-1/2k+6)-0の方程式を解く。

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